PhD Thesis

concluimos la prueba del lema.
Una de las propiedades que se preservan del caso no graduado es la siguiente
Lema 1.89. El A−módulo Ω1 A tiene la propiedad universal : Dado cualquier
derivación D : A → M existe un único f : Ω1 A → M morfismo de A módulos
que hace que el diagrama
conmute.
A
d
D
Ω1
∃!f
A
Prueba. Es suficiente definir f(a ⊗ b) = aD(b)
Observación. notemos que el morfismo d1 : A → A⊗A
N ′ definido como d1(a) =
1 ⊗ a verifica la siguiente igualdad
Definamos la aplicación
De la definición tenemos que
M
d1(ab) = ad1(b) + (−1) |a||b| bd1(a).
d ′ (a) = (−1) |a| d1(a).
d ′ (ab) = (−1) |a|+|b| d1(ab) = (−1) |a|+|b| (ad1(b) + (−1) |a||b| bd1(a)) =
(−1) |a| a(−1) b d1(b) + (−1) |b|+|a||b| b(−1) |a| d1(a) =
es decir d ′ es una derivación.
(−1) |a| ad ′ (b) + (−1) |b|+|a||b| bd ′ (a)
= (−1) |a| ad ′ (b) + (−1) |a||b| bd ′ (a),
Lema 1.90. La derivada d ′ : A → A⊗A
N ′ cumple la propiedad universal : Para
toda derivación graduada
D : A → M
34