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L ′ m+p : 0 |a|=m+p yaΩ0 R δ y |a|=m+p−1 aΩ1 R donde el morfismo borde se define como r y a1 δ(y a ω) = δ(y a1 1 · · · y ar r ω) = i=1 1 · · · y ai−1 1 δ . . . δ · · · y ar r dfi ∧ ω y |a|=p aΩm R , Nota. De esta última definición es claro que Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I. Observación. De manera similar podemos definir el complejo L ′ j para j < m de la siguiente manera : L ′ j : 0 . . . δ |a|=j |a|=1 yaΩ0 R δ y a Ω j−1 R El complejo Lj cumple Lj = L ′ j ⊗R R/I. δ y |a|=j−1 aΩ1 R |a|=0 2.3.1. Homología de Hochschild y a Ω j R . δ . . . Esta sección es dirigida a presentar una secuencia espectral E∗,∗ que converge a la cohomología de los complejos Lj y colapsa en el término r. Cuando j ≥ m mostramos que los complejos Lj sólo tienen r+1 términos en cohomología no nulos. Si m − r < j < m entonces los complejos Lj tienen j−m+r+1 términos de cohomología no nulos. En los demás casos H i (Lj) = 0 para todo i = m. Teorema 2.69. Sea (R, η) un anillo local, I = 〈f1, . . . , fr〉 una variedad de intersección completa, f1, . . . , fr una secuencia regular. Entonces para todo primo P tal que JF P el complejo L ′ j localizado en P, (L ′ j)P , es quasi isomorfo a Lj(dx1, · · · , dxr, N), donde N = r i=1 RP dxi. Prueba. Sea P JF entonces el determinante de algún menor r × r de la matriz Jac(F ), al cual denotaremos por M(xi1, . . . , xir), no esta contenido en P. Nuevamente por un reordenamiento de indices podemos suponer que 105
se trata de M(x1, . . . , xr) el determinante del menor de las primeras r filas de la matriz jacobiana. Por lo tanto, si definimos la aplicación T : Ω 1 RP −→ Ω1 RP por T (ei) = dfi para i = 1, . . . , r y T (ei) = ei para i ≥ r + 1 tenemos que T es un isomorfismo. En efecto, basta notar que T −1 = adj(T ) · |T | −1 esta bien definida. Entonces df1, . . . , dfr es parte de una base de Ω1 RP y (L′ j)P = Lj(df1, . . . , dfr, Ω1 ). RP Corolario 2.70. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces para todo primo P tal que JF P el complejo L ′ j localizado en P, (L ′ j)P , para todo 1 ≤ j < m tiene cohomología cero para todo i = j y es exacto para todo j ≥ m. Prueba. Del teorema anterior se sigue que L ′ j es quasi isomorfo a Lj(x1, . . . , xr). El Corolario 2.45 finaliza la prueba del corolario. Observación. A continuación presentaremos los ingredientes para poder demostrar una generalización del Teorema 2.62. Si usamos la notación el complejo L ′ m+p Ω m−1 1,p+1 dfr Ωm 0,p ∂ ∂ . .. dfr . .. ∂ Bl,i−l = Ω ∗ i,l · · · . .. dfr Ω m−1 ∂ 1,2 dfr Ωm 0,1 106 ∂ ∂ ∂ · · · dfr Ω m−2 2,2 dfr Ω m−1 1,1 dfr Ωm 0,0 ∂ ∂ ∂ . . . . . . · · · .
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Resumen Sea A = R/I un anillo regul
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Índice general Introducción III 1
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Introducción En la presente tesis
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para valores j mayores que la dimen
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E 1 2,0 = T or2(Mk, R I ) E1 1,0 =
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En relación a la homología cícli
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atra´s nos permiten establecer el
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Otra forma de abordar el estudio de
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1.1. Homología de Hochschild En es
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Definición 1.5. Sean A una k-álge
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Observación. Notemos que todas las
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Observación. En esta tesis trabaja
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〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano
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En efecto, como df = Σi=1,...,mfid
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σ |σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , a
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1.2. Homología Cíclica. Presentam
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Prueba. Es suficiente tomar la secu
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Definamos los módulos HHn(A) ˜ :=
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Observación. De las definiciones a
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Prueba. La demostración se basa en
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La homología cíclica del A.D.G (A
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entonces T ot(D)n = p+q=n i≥0 M
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Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y
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donde N = 〈1 ⊗ ab − (−1) |a
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concluimos la prueba del lema. Una
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Sean x, y elementos en ∧V. Sin pe
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con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el
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Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :
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indicando con ello que θ ′ 1 es
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Prueba. [CGG, Corolario 2.7]. Note
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y ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω
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donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj
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para convertir a los polinomios f1,
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términos de cohomología no nulos.
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F y una filtración del mismo. Del
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Prueba. Por definición (E ′ m+p(
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se denotará como β β . . . E∗
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Prueba. La demostración será por
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. . . 0 Lm+p−i−1(f) 0 Lm+p−
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Como β(x) = x, entonces el morfism
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que finalizan en I. Si el ideal I n
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Definición A.9. Sea (R, η) un ani
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A.2. Complejo Koszul Nuestro princi
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Prueba. [Eis, Teorema 17.1] . Corol
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Observación. Notemos también que
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Prueba. Del Corolario anterior tene
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Como M/N η · M/N = M N ⊗ R/η,
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esta bien definida. Más aún si x
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Como h(dx), h(dy) ∈ J y J 2 = 0 (
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Prueba. Del Lema A.61 tenemos que Q
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[CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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