PhD Thesis

Prueba. Si definimos f([a ⊗ b]) = aD(b) se prueba que f esta bien definida,
f ◦ d(a) = D(a) y además que f es única.
Corolario 1.11. Si I = Ker(A ⊗ A −→ A) entonces I
I 2 Ω1 A .
Prueba.[Eis, Teorema 16.24].
Corolario 1.12. Si S ⊂ A es un subconjunto multiplicativamente cerrado
entonces Ω 1
S −1 A S−1 A ⊗A Ω 1 A
Prueba. [Eis, Proposición 16.9].
Entre las secuencias que emplearemos se encuentran las siguientes :
Proposición 1.13. Si A → B → C es una secuencia de anillos entonces
existe una secuencia exacta de B−módulos
C ⊗B Ω 1 B|A → Ω1 C|A → Ω1 C|B
→ 0
donde la aplicación del lado derecho envía dc a la clase de dc, y la aplicación
del lado izquierdo envia c ⊗ db a cdb.
Prueba. [Eis, Proposición 16.2].
Proposición 1.14. Si π : A → B es un epimorfismo de k−álgebras con
ker(π) = I, entonces existe una secuencia exacta de B−módulos
I
I 2
d
B ⊗A Ω1 A|k
π
Ω1 B|k
donde la aplicación del lado derecho es dado por b ⊗ da ↦→ bda y la del lado
izquierdo envía la clase de f a 1 ⊗ df.
Prueba. [Eis, Proposición 16.3].
Definición 1.15. Sea k un anillo conmutativo y A una k−álgebra. Un
A−módulo finito universal con derivada finita es un A-módulo finitamente
generado (f.g) ˜ Ω1 A|k y una k−derivada d : A → ˜ Ω1 , con la siguiente propiedad
A|k
universal : Si M es un A−módulo f.g y D : A → M es una k−derivada entonces
existe un único homomorfismo de A−módulos
tal que D = f ◦ d.
f : ˜ Ω 1 A|k
5
→ M
0,