PhD Thesis

Prueba. [Wei, Corolario 9.4.4].
La siguiente definición nos indica bajo que condiciones el morfismo ψ es
un isomorfismo.
Definición 1.50. Diremos que un álgebra conmutativa unital A es suave si
el ideal I = Ker(µ : A ⊗ A → A) es generado por una secuencia regular en
el anillo local (A ⊗ A) (µ) −1 (η), para todo ideal maximal η en A.
Observación. Como el álgebra A es proyectiva como k−módulo tenemos
(A, A). Si además el álgebra es suave entonces I
que HHn(A) = T orA⊗Aop n
es generado localmente por una secuencia regular. El complejo de Koszul de
esta secuencia es una resolución de A como A ⊗ Aop−módulo. Si usamos esto
dos hechos obtenemos que HH∗(A) = Ω∗ A .
La formalización del comentario anterior se refleja en siguiente teorema.
Teorema 1.51. (Teorema de Hochschild-Konstant-Rosenberg.) Sea
A una álgebra conmutativa e.t.f. sobre un cuerpo k. Si A es suave entonces
ψ : Ω ∗ A → HH∗(A)
es un isomorfismo de álgebras graduadas.
Prueba. Ver [HKR].
Proposición 1.52. Si (R, η) es un anillo r.l.e.t.f entonces R es suave
Prueba. Ver [Apéndice, Proposición A.58].
Corolario 1.53. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. entonces
HH∗(R) = Ω ∗ R.
Prueba. Se sigue del Teorema 1.51 y Proposición 1.52
Proposición 1.54. Sea R un anillo local noetheriano conteniendo un cuerpo
k. Si R es suave sobre k entonces R es un anillo regular local.
Prueba. Ver [Wei, Teorema 9.3.11].
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