PhD Thesis

A continuación veremos un ejemplo donde la secuencia espectral E n ∗∗ del
Teorema 2.62 colapsa en E 1
Corolario 2.65. Si Jg ⊂ Jf entonces la secuencia espectral del Teorema 2.62
cumple que E 1 = E ∞ .
Prueba. Una propiedad que usaremos en repetidas ocasiones en la prueba
del corolario es la que pasamos a demostrar :
Recordemos que en la Sección 2.1 asumimos que ninguno de los generadores
del ideal I es regular, es decir Jf = R. Si Jg ⊂ Jf entonces ht(Jf) = m.
En efecto, como f ∈ Jf, g ∈ Jg se tiene que ht(Jf) = ht( Jf) ≥
ht(〈f, g, Jf,g〉) = m. Esto a su vez significa que H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para
todo i = m (ver Corolario 2.6). Es decir si w ∈ Ω ∗ y df ∧ w = 0 entonces
existe w ′ ∈ Ω ∗−1 tal que w = df ∧ w ′ .
Por otro lado para demostrar el Corolario será suficiente probar que los
morfismos de conexión, dados por ∧dg, de la secuencia exacta larga en cohomología
de la secuencia exacta corta
0
Ep
Lm+p
Lm−1
son nulos. En efecto, si tomamos la secuencia exacta larga en cohomología a
la secuencia anterior obtenemos la secuencia
H m−2 (Ep)
H m−1 (Ep)
H m (Ep)
m−2 H (Lm+p)
m−1 H (Lm+p)
Hm (Lm+p)
0
m−2 H (Lm−1) δ1
m−1 H (Lm−1) δ0
La condición Jg ⊂ Jf implica que δ0 = 0, y δ1 = 0. Verificaremos sólo que
δ1 = 0, pues el otro caso es similar.
En efecto sea [(w1, w0)] una clase en el módulo H m−2 (Lm−1) con (w1, w0) ∈
Ω m−2 ⊕ Ω m−2 . Entonces
0.
df ∧ w1 + dg ∧ w0 = f · η 1 1 + g · η 2 1 ∈ Ω m−1 .
Si multiplicamos por dg∧ a la igualdad anterior obtenemos
dg ∧ df ∧ w1 = f · dg ∧ η 1 1 + g · dg ∧ η 2 1. (2.21)
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