PhD Thesis

De aquí se sigue que H m−1 (Lj) = (Jf :f)
Jf
, y H m (Lj) = R/ 〈f, Jf〉 .
Observación. Notemos que la dimensión de H m (Lj) (para j ≥ m) es el
número de Tjurina de la singularidad (ver Observación en la Proposición
2.4)
De ahora en adelante, hasta finalizar la sección, veremos solamente el
caso en el que I = 〈f, g〉 sea intersección completa y tenga una singularidad
aislada. Es decir trabajaremos bajo la hipótesis que el ideal I sea intersección
completa y cumpla la siguiente propiedad :
ht(〈f, g, Jf,g〉) = m.
Nuestro estudio se centrará en la cohomología de los complejos Lj para valores
j ≥ dim(R). En adelante para no cargar la notación escribiremos ya i por
y (a)
i . La Proposición 2.28 prueba que los complejos Lm+k se expresan de la
siguiente manera
Lm+p :
|a|=m+p
y a1
1 y a2
2 Ω 0 δ
|a|=m+p−1
y a1
1 y a2
2 Ω 1
. . . δ
|a|=p+1
y a1
1 y a2
2 Ω m−1
δ
δ
|a|=p
y a1
1 y a2
2 Ω m ,
donde Ω s = Ω s ⊗R R/I. A partir de aquí usaremos la siguiente notación
Ω m−i
i,l,m+p =
|α|=i+p;a2=l
y a1
1 y a2
2 Ω m−i ,
especialmente cuando escribamos L ′ m+p como un bicomplejo. Cuando no halla
lugar a duda en que complejo Lj estemos trabajando sólo pondremos Ω m−i
i,l .
Notemos que y j
1y i 2Ω s y j
1y i−1
2 Ω s Ω s .
Definición 2.33. Definamos los complejos L ′ m+p de la siguiente manera :
L ′ m+p : m+p
Ω
l=0
0 m,l
δ
m+p−1
Ω
l=0
1 p
δ
. . . δ
m−1,l
Ω
l=0
m 0,l
y el morfismo borde se define como δ(y a 1y b 2ω) = y a−1
1
donde y a 1 = y a 2 = 0 si a < 0.
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0,
yb 2df ∧ ω + ya 1y b−1
2 dg ∧ ω,