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. . . . . . . . . [(L ′ m+p+1 )m]y ⊕ [(L ′ m+p+1 )m−1] [(L β ′ m+p)m−1]y ⊕ [(L ′ β m+p)m−2] · · · β (L δ ′ m+p+1 )m [(L ′ m+p)m]y ⊕ [(L ′ β m+p)m−1] β · · · Observación Notemos que las columnas de Ω ≥m f . . . δ (L ′ m+p)m son subcomplejos de las columnas del complejo Ω≥m . También es claro que el complejo [L ′ m+p]0 δ [L ′ m+p]1 δ . . . δ [L ′ m+p]m−1 β δ [L ′ m+p]m esta bien definido. Finalmente, se observa que el complejo Cm+p definido como el complejo total del bicomplejo · · · (L ′ m+p)m−2 (L ′ m+p)m−1 δ (L ′ m+p)m · · · [(L ′ m+p)m−2]y [(L ′ m+p)m−1]y δ1 [(L ′ m+p)m]y, donde δ ∗ (ωy) = (−1) |ω| fω, y δ1(ωx a y b y) = δ(ωx a y b )y esta bien definido. A continuación veremos que el complejo Ω ≥m f δ ∗ esta bien definido. También notemos que la definición de Ω ≥m depende de f pues existe una construcción similar para el generador g. 149 . . . · · ·
Lema 3.28. El morfismo β restricto a (L ′ m+p)sy ⊕ (L ′ m+p)s−1 cumple y β ◦ δ + δ ◦ β = 0. β((L ′ m+p)∗y ⊕ (L ′ m+p)s−1) ⊂ (L ′ m+p+1)s+1y ⊕ (L ′ m+p+1)s, Prueba. Sea z ∈ (L ′ m+p)sy ⊕ (L ′ m+p)s−1. Si z = ωxayly ∈ (L ′ m+p)sy = ⊕ p+m−s l=0 Ωsm−s,l,m+py entonces Por definición β(z) = dDR(ω)x a y l y + (−1) |ω| x a y l+1 ω. (L ′ m+p+1)s+1y = ⊕ p+1+m−s−1 l=0 Ω s+1 m−s−1,l,m+p y = ⊕p+1+m−s−1 l=0 x a y l Ω s+1 y tal que a + l + s + 1 = m + p + 1. De aquí se sigue que dDR(ω)x a y l y ∈ (L ′ m+p+1)s+1y. De igual modo por definición tenemos que (L ′ m+p+1)s = ⊕ p+1+m−s l=0 Ωm−s,l,m+p+1 = ⊕ p+1+m−s l=0 x a y l Ω s tal que a + l + s = m + p + 1. Por lo tanto (−1) |ω| x a y l+1 ω ∈ (L ′ m+p+1)s. De manera similar se prueba que β(z) ∈ (L ′ m+p+1)s+1y ⊕ (L ′ m+p+1)s si z ∈ (L ′ m+p)s−1. Finalmente la ecuación β ◦ δ + δ ◦ β = 0 se cumple debido al hecho que esta igualdad se cumple en el complejo Ω ≥m , ver Definición 2.3 de [CGG]. Por lo tanto existe una secuencia exacta corta 0 Ω ≥m f ≥m Ω (f, g) Ω ≥m f [−1] 0. Observación. Notemos que como módulos graduados los complejos Cm+p y L ′ m+p ⊗ K(f) son iguales. Sus morfismos borde son iguales salvo signo. Es decir las cohomología de ambos son iguales. Por este motivo a Cm+p lo denotaremos como L ′ m+p ⊗ K(f). 3.4.2. El Complejo M(f, g) Esta parte esta dedicada a demostrar la buena definición de cierto subcomplejo M(f, g) de Ω ≥m f . 150
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Resumen Sea A = R/I un anillo regul
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Índice general Introducción III 1
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Introducción En la presente tesis
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para valores j mayores que la dimen
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E 1 2,0 = T or2(Mk, R I ) E1 1,0 =
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En relación a la homología cícli
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atra´s nos permiten establecer el
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Otra forma de abordar el estudio de
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1.1. Homología de Hochschild En es
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Definición 1.5. Sean A una k-álge
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Observación. Notemos que todas las
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Observación. En esta tesis trabaja
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〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano
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En efecto, como df = Σi=1,...,mfid
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σ |σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , a
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1.2. Homología Cíclica. Presentam
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Prueba. Es suficiente tomar la secu
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Definamos los módulos HHn(A) ˜ :=
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Observación. De las definiciones a
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Prueba. La demostración se basa en
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La homología cíclica del A.D.G (A
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entonces T ot(D)n = p+q=n i≥0 M
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Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y
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donde N = 〈1 ⊗ ab − (−1) |a
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concluimos la prueba del lema. Una
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Sean x, y elementos en ∧V. Sin pe
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con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el
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Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :
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indicando con ello que θ ′ 1 es
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Prueba. [CGG, Corolario 2.7]. Note
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y ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω
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donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj
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para convertir a los polinomios f1,
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términos de cohomología no nulos.
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tal que η j · M = 0. En el caso q
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Ejemplo 2.12. Sea I = 〈x 2 , y 3
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Supongamos que el Lema se cumple pa
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De aquí se tiene que ht(JF ) = m
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Prueba. Nuevamente como W tiene a l
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(ver Proposición A.38 del Apéndic
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es un polinomio no nulo (ver Lema A
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Lj : 0 IjΩ0 R Ij+1Ω0 R dDR I
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donde δ(y (a1) 1 . . . y (ar) r y
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donde df denota la imagen de df ∧
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Observación. Notemos que Lm+p = L
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en H m−1 (K(f1, . . . , fm)). Por
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para todo i (ver [Wei, Aplicación
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. . . δ |a|=j−m+1 x a1 1 · ·
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Notemos que puede ocurrir que ai
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2.2.3. Cálculo de la Homología de
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como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi
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Prueba. Sea P un ideal primo en el
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Cp+1 : . Ω m−2 2,p+2 df Ω
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Por lo tanto Gr(H m−1 (C1)) = H m
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Con esta notación el bicomplejo L
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Teorema 2.62. Existe una secuencia
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