PhD Thesis

generadores g ′ i para i = 1, . . . , r tales que cada uno tenga una singularidad
aislada en η; a estos los denotaremos nuevamente por {fi; i = 1, . . . , r} .
Con ellos tenemos que Ir+1 tiene generadores {fi; i = 1, . . . , r + 1} , para
los cuales cada 〈fi〉 tiene una singularidad aislada en η. Más aún, como
los nuevos fi hallados cumplen que Ir+1 = 〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉 entonces
r + 1 = ht(〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉) = profundidad(〈fi; i = 1, . . . , r + 1〉) lo que
nos permite afirmar (del Corolario 17.7 de Eisembud) que los nuevos elementos
{fi; i = 1, . . . , r + 1} forman una secuencia regular.
Observación. A continuación mostramos un ejemplo de como aplicar la
Proposición 2.24 de manera algorítmica en un ideal I que sea una icis.
Ejemplo 2.26. Los polinomios f = x 2 y g = y 2 en el anillo (R, η) =
(k[x, y](x,y), η) generan una icis. El ideal jacobiano Jf,g = 〈xy〉 tiene la siguiente
descomposición primaria
Jf,g = P1 ∩ P2
donde P1 = 〈x〉 y P2 = 〈y〉. Como f ∈ P1 y g ∈ P2 de la Proposición 2.24 es
suficiente tomar λ no nulo en el cuerpo base k,
g1 = f − λ · g = x 2 − λy 2 ,
y tener que g1 tiene una singularidad aislada en η. Es claro que f := y 2 , g :=
x 2 − λy 2 generan el ideal I, y g tiene una singularidad aislada.
Si aplicamos nuevamente el proceso a los nuevos generadores f, g, (ver
Proposición 2.24) obtenemos que Jf,g = 〈xy〉. La descomposición primaria
de este ideal nuevamente es
Jf,g = P1 ∩ P2,
donde P1 = 〈x〉 y P2 = 〈y〉. Notemos que en este caso ni f ni g se encuentran
en el primo P1. En el cuerpo K := Q(R/P1) los elementos f, g no son k
algebraicamente independientes. En efecto, para Q(z1, z2) = λ · z1 + z2 ∈
k[z1, z2] tenemos que
Sea z1 = t · z2 entonces
Q(f, g) = λ · y 2 − λ · y 2 = 0.
Q1(t, z2) = Q(t · z2, z2) = (λ · t + 1)z2 ∈ k[t, z2]
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