PhD Thesis

Corolario 1.41. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y {f1, . . . , fr} ⊂ R, P un ideal
primo con JF ⊂ P. Supongamos que fj /∈ P para todo j = 1, . . . , r. Entonces
en T = Q( R
P ) (el cuerpo de fracciones de R/P ) los elementos {f1, . . . , fr} no
son algebraicamente independientes sobre k.
Prueba. Sea dx1, . . . , dxm una base con la que se definió el ideal jacobiano
y
m
dfj =
i=1
fi,jdxi
la representación de dfj en esta base. Si ponemos vj = (f1,j, . . . , fm,j) y
definimos L : W → Ω 1 T como L(ej) = dxj la demostración del Corolario 1.40
permanece válida.
A continuación mostraremos un ejemplo donde la situación planteada
anteriormente sucede.
Ejemplo 1.42. Sea (R, η) = (k [x, y] (x,y) , η, ) y f = x 2 + y 2 , g = x 2 − y 2 .
Entonces Jf,g = 〈xy〉 ⊂ P = 〈x〉 y el ideal primo P no contiene a f ni a g.
Más aún si tomamos el polinomio Q(w, z) = w + z entonces Q(f, g) = 0 en
T = Q(R/P ) el cuerpo de fracciones de R/P.
Observación. Bajo las hipótesis del Corolario 1.41 hemos obtenido un polinomio
no nulo Q(x1, . . . , xr) ∈ k[x1, . . . , xr] tal que Q(f1, . . . , fr) = 0 en el
cuerpo T. Como Q(f1, . . . , fr) ∈ R/P de la inclusión natural R/P ↩→ T es
claro que P (f1, . . . , fr) = 0 en el anillo R/P. Esta relación, P (f1, . . . , fr) = 0
en el anillo R/P, será una de las más importantes en la que se basará la
mayoría de los resultados que presentaremos en los demás capítulos.
Entre otras estructuras que se le proporcionan al complejo de Hochschild
se encuentra el producto barajado que definimos a continuación.
Definición 1.43. Sea Sn el grupo simétrico. Una (p, q) baraja es σ ∈ Sp+q
tal que σ(1) < . . . < σ(p); σ(p + 1) < . . . < σ(p + q)
Definición 1.44. Definamos el producto barajado
∗ = shp,q : Cp(A) ⊗ Cq(A) → Cp+q(A)
(a0, a1, . . . , ap) ∗ (a ′ 0, ap+1, . . . , ap+q) =
13