PhD Thesis

Lj : 0
IjΩ0 R
Ij+1Ω0 R
dDR
Ij−1Ω1 R
IjΩ1 R
dDR
. . .
dDR
I
j−m+1Ω m−1
R
I j−m+2 Ω m−1
R
dDR
Ij−mΩm R
Ij−m+1Ωm R
si j > m. Vamos a describir a estos complejos Lj de una manera conveniente
en la Proposición 2.28. Cuando el anillo R es r.l.e.t.f. se tiene que
IsΩj−s Is+1 Is
Ωj−s Is+1 ⊗R Ω j−s
pues Ωs es libre (Teorema 1.28).
Debido a que el ideal I es de intersección completa, el R/I−módulo
graduado I
s≥0
s
R
es isomorfo al anillo de polinomios
Is+1 I [y1, . . . , yr] (ver
Proposición A.29) donde ht(I) = r. Denotemos al espacio vectorial de los
polinomios homogéneos de k [y1, . . . , yr] de grado s por ⊕|a|=sy a1
1 · · · y ar
r , donde
a = (a1, . . . , ar) y |a| = a1 + . . . + ar. Con esta notación se prueba que
Is
y
Is+1 |a|=s
a1
1 · · · y ar
r ⊗k
Usando estos isomorfismos veremos que el morfismo borde resulta ser casi la
multiplicación por los dfi. En efecto definamos Ω := Ω ⊗ R/I, el siguiente
diagrama conmutativo define δ
f a1
1 · · · f ar
que
|a|=s
IsΩ j−s
R
Is+1Ω j−s
R
y a1
1 · · · yar r ⊗k Ω j−s
R
I s+1 Ω j−s
R
d
δ ′
|a|=s−1
R
I .
Is−1Ω j−s+1
R
IsΩ j−s+1
R
y a1
1 · · · y ar
r ⊗k Ω j−s+1
R
donde z = y a1
1 · · · yar r ⊗ ω ∈
|a|=s ya1 1 · · · yar r ⊗k Ω j−s
R corresponde a x =
r ω en el módulo IsΩ j−s
R . De la definición del morfismo d se sigue
d(x) =
r
f a1
i=1
1 · · · f ai−1
i
· · · f ar
r · ai · dfi ∧ ω + f a1
1 · · · f ar
r d(ω) =
68
,