PhD Thesis

Prueba. El Lema 3.15 nos permite asumir sin perdida de generalidad que
la aplicación
f : Jg
Jf,g
−→ Jg
Jf,g
definida como x ↦→ xf es inyectiva, y f así como g tiene una singularidad
aislada en η.
Por otro lado, como L ′ m−1 es un complejo exacto excepto en el último
nivel tenemos que
H ∗ (L ′ m−1 ⊗ K(f)) = T orm−1−∗(H m−1 (L ′ m−1), R/ 〈f〉).
Cuando g tiene una singularidad aislada en η se probó que
(ver Lema 2.35). Es claro que
H m−1 (L ′ m−1) Jg
K(f) : 0
f
R
Jf,g
R
es una resolución de R/ 〈f〉 . Entonces el complejo K(f) ⊗ Jg
0
Jg
Jf,g
f
Jg
.
Jf,g
De Lema anterior tenemos que H m−2 (L ′ m−1 ⊗ K(f)) = H1(K(f) ⊗ Jf
Corolario 3.17. Existen generadores f, g del ideal I tal que
H m−2 (Lm−1) = T or1( Jg
Jf,g
⊗ R/ 〈f〉 , R/ 〈g〉).
Jf,g
es dado por
Jf,g
) = 0.
Prueba. Como L ′ m−1 es un complejo exacto excepto en el último nivel entonces
H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗( Jg
, R/ 〈f, g〉).
Jf,g
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