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Entonces Qi(c1) para i = 0, . . . , l es un elemento no nulo en el cuerpo k. Por lo tanto el polinomio Q(c1, x2) es no nulo. Por hipótesis inductiva tenemos lo siguiente : Si Q(x1, . . . , xn) es un polinomio no nulo entonces existen constantes c1, . . . , cn−1 todas ellas no nulas tal que Q(c1, . . . , cn−1, xn) es un polinomio no nulo. Sea Q(x1, . . . , xn+1) polinomio no nulo. Entonces Q se puede escribir como Q(x1, . . . , xn+1) = l i=0 Qi(x1, . . . , xn)x i n+1, donde los polinomios Qi son no nulos. Sea P (x1, . . . , xn) = Q0 · Q1 · · · Ql, entonces P es un polinomio no nulo pues k[x1, . . . , xn] es un dominio. De la hipótesis inductiva tenemos que existen constantes c1, . . . , cn−1 todas no nulas tales que P (c1, . . . , cn−1, xn) es un polinomio no nulo. Como k [xn] es un dominio entonces Qi(c1, . . . , cn−1, xn) es un polinomio no nulo para todo i = 0, . . . , l. Como Q(c1, . . . , cn−1, xn, xn+1) ∈ (k[xn])[xn+1] y sus coeficientes Qi(c1, . . . , cn−1, xn) son elementos no nulos de k[xn] entonces Q(c1, . . . , cn−1, xn, xn+1) es polinomio no nulo en dos variables. Del caso r = 2 tenemos que existe cn ∈ k no nulo tal que Q(c1, . . . , cn−1, cn, xn+1) es un polinomio no nulo de k[xn+1].. Lema A.61. Sea P (x1, · · · , xr) un polinomio no nulo. Entonces Q(y1, · · · , yr−1, xr) = P (y1.xr, · · · , yr−1xr, xr) es un polinomio no nulo en las variables (y1, · · · , yr−1, xr). Prueba. Como P es un polinomio no nulo entonces el grado de P respecto a alguna variable xk es no nulo. Si el grado de P respecto de xk para k < r es positivo entonces el grado de Q respecto a yk es también positivo. Por lo tanto Q(y1, · · · , yr−1, xr) es un polinomio no nulo. Si el grado de Q es cero con respecto a las variables xk para todo k < r entonces P = P (xr) = Q(xr) es un polinomio no nulo. Corolario A.62. Sea P (x1, . . . , xr) polinomio no nulo. Entonces existen constantes λi para i = 1, . . . , r − 1 todas no nulas tal que el polinomio es no nulo. P (λ1xr, . . . , λr−1xr, xr) ∈ k[xr] 193
Prueba. Del Lema A.61 tenemos que Q(y1, · · · , yr−1, xr) = P (y1 · xr, · · · , yr−1 · xr, xr) es un polinomio no nulo. Entonces del Lema A.60 tenemos que existen constantes λi para i = 1, . . . , r − 1 todas no nulas tal que Q(λ1, · · · , λr−1, xr) es polinomio no nulo. Por lo tanto P (λ1xr, . . . , λr−1xr, xr) es un polinomio no nulo, donde las constantes λi ∈ k son todas no nulas. . 194
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Resumen Sea A = R/I un anillo regul
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Índice general Introducción III 1
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Introducción En la presente tesis
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para valores j mayores que la dimen
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E 1 2,0 = T or2(Mk, R I ) E1 1,0 =
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En relación a la homología cícli
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atra´s nos permiten establecer el
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Otra forma de abordar el estudio de
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1.1. Homología de Hochschild En es
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Definición 1.5. Sean A una k-álge
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Observación. Notemos que todas las
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Observación. En esta tesis trabaja
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〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano
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En efecto, como df = Σi=1,...,mfid
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σ |σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , a
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1.2. Homología Cíclica. Presentam
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Prueba. Es suficiente tomar la secu
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Definamos los módulos HHn(A) ˜ :=
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Observación. De las definiciones a
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Prueba. La demostración se basa en
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La homología cíclica del A.D.G (A
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entonces T ot(D)n = p+q=n i≥0 M
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Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y
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donde N = 〈1 ⊗ ab − (−1) |a
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concluimos la prueba del lema. Una
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Sean x, y elementos en ∧V. Sin pe
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con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el
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Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :
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indicando con ello que θ ′ 1 es
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Prueba. [CGG, Corolario 2.7]. Note
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y ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω
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donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj
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para convertir a los polinomios f1,
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términos de cohomología no nulos.
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tal que η j · M = 0. En el caso q
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Ejemplo 2.12. Sea I = 〈x 2 , y 3
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Supongamos que el Lema se cumple pa
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De aquí se tiene que ht(JF ) = m
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Prueba. Nuevamente como W tiene a l
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(ver Proposición A.38 del Apéndic
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es un polinomio no nulo (ver Lema A
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Lj : 0 IjΩ0 R Ij+1Ω0 R dDR I
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donde δ(y (a1) 1 . . . y (ar) r y
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donde df denota la imagen de df ∧
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Observación. Notemos que Lm+p = L
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en H m−1 (K(f1, . . . , fm)). Por
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para todo i (ver [Wei, Aplicación
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. . . δ |a|=j−m+1 x a1 1 · ·
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Notemos que puede ocurrir que ai
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2.2.3. Cálculo de la Homología de
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como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi
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Prueba. Sea P un ideal primo en el
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Cp+1 : . Ω m−2 2,p+2 df Ω
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Por lo tanto Gr(H m−1 (C1)) = H m
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Con esta notación el bicomplejo L
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Teorema 2.62. Existe una secuencia
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intercambiar el rol de f por el de
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Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1
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son cero, para todo p ≥ 1. En efe
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2.3. Homología de Hochschild para
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se trata de M(x1, . . . , xr) el de
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Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L
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Bp+1,−p δ1 dfr Bp,−p δ1 .
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y a1 1 · · · yar r ω → y a1 1
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Teorema 2.76. Sea (R, η) un anillo
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En el caso que el ideal I = 〈f, g
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para todo i = m − r + 1. Del crit
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En general los módulos de cohomolo
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Capítulo 3 Homología Cíclica. Lo
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el complejo Lj tiene cohomología c
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para todo t ≤ m − r − 2. Si t
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3.2. El Caso Quasihomogéneo En est
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tomamos la secuencia exacta larga
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Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0
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Observación. Del Capítulo anterio
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Prueba. El Lema 3.15 nos permite as
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Definamos el número de Milnor de l
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entonces en el anillo R/Jf,g tendr
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Page 163 and 164: El complejo L ′ m+p se escribe co
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Page 171 and 172: F y una filtración del mismo. Del
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Page 197 and 198: Observación. Notemos también que
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Page 207: Como h(dx), h(dy) ∈ J y J 2 = 0 (
Page 211 and 212: [CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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