PhD Thesis

Prueba. [Eis, Teorema 17.1] .
Corolario A.34. Sea (R, η) es un anillo local noetheriano y {x1, . . . , xr} una
secuencia regular de elementos en η entonces toda permutación {xσ(1), . . . , xσ(r)}
es una secuencia regular.
Prueba. [Eis, Corolario 17.2].
Definición A.35. Sea R un anillo y x = (x1, . . . , xn) ∈ N R n . Definimos
el complejo de Koszul de x como
0
· · ·
donde dx(ω) = x ∧ ω.
R
n−1
dx
∧ N
n ∧ N
dx
dx
N
2 ∧ N
0,
· · ·
Observación. Si N no es libre simplemente habremos definido el complejo
de Koszul de un elemento x ∈ N (ver [Eis, Sección 17.2]).
Si x = x1 entonces
K(x1) : 0
∂
R · e
R,
donde ∂(e) = x. Es claro que este complejo coincide con el que se presentó en
la Definición A.31.
Proposición A.36. Si
para todo j < r y
H j (K(x1, . . . , xn)) = 0
H r (K(x1, . . . , xn)) = 0,
entonces todo R−secuencia maximal en I = 〈x1, . . . , xn〉 ⊂ R tiene longitud
r.
Prueba. La demostración se sigue de [Eis, Teorema 17.4] si tomamos M = R.
Corolario A.37. Si profundidad(〈x1, . . . , xn〉) ≥ r entonces
para todo t < r.
H t (K(x1, . . . , xn)) = 0
178