PhD Thesis

Como h(dx), h(dy) ∈ J y J 2 = 0 (por hipótesis) entonces h(dx)h(dy) = 0.
Es decir g(xy) = g(x)g(y).
Finalmente veamos que ε ◦ g = f. En efecto
ε ◦ g(x) = ε(f1(x) − h(d(x))) =
ε(f1(x)) − ε(h(d(x)))
como h(d(x)) ∈ J (es decir ε(h(d(x)) = 0) y ε(f1(x)) = f ◦ π(x) entonces
ε ◦ g(x) = f(x).
A.4. El Anillo de Polinomios.
En esta sección demostramos la siguiente propiedad
Sea k un cuerpo de caracteristica cero y k[x1, . . . , xr] el anillo de polinomios.
Para todo polinomio P (x1, . . . , xr) no nulo existen elementos λ1, . . . , λr−1
todos no nulos en el cuerpo k tal que el polinomio P (λ1xr, . . . , λr−1xr, xr) es
no nulo.
Lema A.59. Si k es un dominio entonces el anillo k[x1, . . . , xn] es un dominio.
Prueba. Trivial.
Lema A.60. Sea Q(x1, . . . , xr) polinomio no nulo con coeficientes en k un
cuerpo infinito. Entonces existen constantes ci ∈ k −{0} para i = 1, . . . , r −1
tal que Q(c1, . . . , cr−1, xr) es un polinomio no nulo de k[xr].
Prueba. La prueba se desarrollará por inducción sobre r el número de variables
para r ≥ 2.
Si r = 2 el polinomio Q(x1, x2) se puede escribir como
Q(x1, x2) =
l
Qi(x1)x i 2.
i=0
Sea P (x1) = (Q0 · Q1 · · · Ql)(x1) y s el grado de P. Entonces P tiene a lo más
s raíces. Como k es infinito, existe c1 ∈ k no nulo tal que P (c1) es no nulo.
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