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Como sabemos las columnas de este complejos son sumas directas de complejos Koszul K(dfr) truncados En el anillo RP se cumple que (L ′ m+p)P = L ′ m+p(x1, . . . , xr). Es decir la aplicación ω → dfr ∧ ω y el complejo K((fr)x1, . . . , (fr)xm) se transforma en ω → dxr ∧ω, y K(dxr). Se prueba que este último complejo es exacto. Como los complejos E ′ , y (B∗,t, dfr) para t ∈ {0, 1, . . . , m} son sumas directas del complejo de Koszul K(dxr), y de complejos que se obtienen de truncar el complejo de Koszul entonces E ′ es exacto y U ′ t es exacto excepto posiblemente en el último nivel. Si tomamos cohomología a las columnas del complejo L ′ m+p obtenemos el siguiente complejo C : · · · Hm (E ′ ) Hm−1 (B∗,1, dfr) Hm−r (B∗,r, dfr) H m−r−1 (B∗,r+1, dfr) . . . H1 (U ′ 1) Ω0 El complejo C es quasi isomorfo al complejo L ′ m+p. Por lo tanto C es exacto. Esto significa que el complejo M ′′ definido como Hm−r (B∗,r, dfr) Hm−r−1 (B∗,r+1, dfr) Hm−r−2 (B∗,r+2, dfr) . . . H2 (B∗,m−2, dfr) H1 (B∗,m−1, dfr) B0,m tiene cohomología cero para todo grado diferente de m−r. Como el complejo M ′′ se obtiene al tomar cohomología a las columnas del complejo M ′ P (ver Complejo 2.25) entonces M ′ P y M ′′ son quasi isomorfos. Por lo tanto M ′ P es exacto salvo en el último nivel. Observación. Notemos Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I. Como el complejo Lm+p se puede escribir como un bicomplejo (ver Página 114), tenemos una secuencia espectral E r ∗,∗ que converge a la cohomología del complejo Lm+p. 113
Teorema 2.76. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis. Si fr tiene una singularidad aislada en η entonces existe una secuencia espectral E ∗ p,q tal que E ∞ = E r , y converge a la cohomología del complejo Lm+p. Prueba. La prueba se basa en escribir el complejo de la siguiente manera · · · δ1 . . . dfr δ1 Lm+p = L ′ m+p ⊗R R/I . . . Em−2 B2,1 . . . dfr Em−1 δ1 dfr Em δ1 B1,1 δ1 dfr . . . δ1 δ1 . . . B2,r−1 dfr B1,r−1 . . . (Mm+p)m−r−1 δ1 dfr dfr dfr δ1 B0,1 B0,r−1 (Mm+p)m−r+1 δ1 δ1 δ1 . . . δ1 δ1 (Mm+p)m−r donde E∗ = E ′ ∗ ⊗R R/I, B∗,∗ = B∗,∗ ⊗R/I y M∗ = M ′ ∗ ⊗R R/I. Las columnas de L ′ m+p son exactas excepto en el último nivel. Entonces podemos tomar cohomología a las columnas del bicomplejo L ′ m+p ⊗ R/I y tener · · · T or2(H m (E ′ ), R/I) T or2(H m−1 (B∗,1, dfr), R/I) . . . ∂ ∂ dfr T or1(H m (E ′ ), R/I) ∂ dfr dfr dfr T or0(H m (E ′ ), R/I) T or0(H m−1 (B∗,1, dfr), R/I) . . . ∂ ∂ . . . dfr T or1(H m−1 (Hm−1 (B∗,1, dfr)), R/I) 114 ∂ . . . dfr . . .
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Resumen Sea A = R/I un anillo regul
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Índice general Introducción III 1
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Introducción En la presente tesis
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para valores j mayores que la dimen
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E 1 2,0 = T or2(Mk, R I ) E1 1,0 =
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En relación a la homología cícli
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atra´s nos permiten establecer el
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Otra forma de abordar el estudio de
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1.1. Homología de Hochschild En es
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Definición 1.5. Sean A una k-álge
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Observación. Notemos que todas las
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Observación. En esta tesis trabaja
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〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano
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En efecto, como df = Σi=1,...,mfid
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σ |σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , a
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1.2. Homología Cíclica. Presentam
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Prueba. Es suficiente tomar la secu
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Definamos los módulos HHn(A) ˜ :=
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Observación. De las definiciones a
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Prueba. La demostración se basa en
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La homología cíclica del A.D.G (A
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entonces T ot(D)n = p+q=n i≥0 M
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Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y
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donde N = 〈1 ⊗ ab − (−1) |a
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concluimos la prueba del lema. Una
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Sean x, y elementos en ∧V. Sin pe
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con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el
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Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :
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Prueba. [CGG, Corolario 2.7]. Note
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y ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω
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donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj
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para convertir a los polinomios f1,
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términos de cohomología no nulos.
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tal que η j · M = 0. En el caso q
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Ejemplo 2.12. Sea I = 〈x 2 , y 3
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Supongamos que el Lema se cumple pa
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De aquí se tiene que ht(JF ) = m
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. . . 0 Lm+p−i−1(f) 0 Lm+p−
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Como β(x) = x, entonces el morfism
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[CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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