PhD Thesis

Definición 1.100. (Ver definición 2.3 y Definición 2.4 de [CGG].) Sea el
complejo Koszul (A0 ⊗ ∧V, d). Definamos el bicomplejo (como se indica en
la Definición 1.76)
ξ = (ξp,q, δ d p,q, 0, βp,q)
donde ξp,q = ⊕ p
i=0 Ωi A0 ⊗ (∧V ∧ V p−i )p+q−i si p ≥ 0 y q ≥ 0, y cero en otro
caso. Ponemos δp,q(w ⊗ x) = (−1) iw ⊗ δ(x), δ|A = d, β como la derivada que
definimos en el Lema 1.93 y sujeta a la condición δ ◦ β + β ◦ δ = 0.
Observación. En algunas ocasiones (ver Sección 3.3) usaremos la siguiente
notación
Ωp,q = ξp,q.
Con esta definición tenemos :
Teorema 1.101. La homología cíclica, (respectivamente la homología de
Hochschild), del A.D.G. A0 ⊗ ∧V es la homología cíclica, (respectivamente
de Hochschild), del bicomplejo ξ.
Prueba. [CGG, Teorema 2.6].
Notemos que aquí estamos haciendo referencia a la Definición 1.72 y
Definición 1.74 que se dio para A.D.G. Recordemos también que en caso
que b = 0, como este, las homologías antes mencionadas tienen cierta descomposición.
Esto se manifiesta en el siguiente Corolario.
Corolario 1.102. La homología cíclica y Hochschild de (A ⊗ ∧V, b) se descompone
en la suma de las homologías de los complejos (ξj , δ, β) y (ξ j
j+k , δ)k≥0
ξ j
j+2
δ
ξ j
j+1
β
β
ξ j−1
j+1
ξ j−1
j
. . . ξ1
3
. . . ξ1
2
β
ξ 0 2
δ
ξ0 1
δ
δ
ξ j
j ξ j−1
. . .
β j−1
ξ1
1 ξ0
β 0
donde ξ j−h
m−2h = j−h
i=0 Ωi A0 ⊗ (∧V ⊗ ∧V j−h−i )m−2h−i.
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β