PhD Thesis

Prueba. Notemos que el anillo A = R/I tiene dimensión m−r. Los complejos
Lj son complejos de A−módulos libres. Sea j > m − r entonces del lema
anterior tenemos que H i ((Lj)P ) = 0 para todo i. Del Corolario 1.69 se sigue
que H i (Lj) = 0 para todo i < m − r − 1. La longitud del complejo Lj es a lo
más igual a m. Por lo tanto H i (Lj) = 0 para todo i > m.
Sea j ≤ m − r, del lema anterior se tiene que H i ((Lj)P ) = 0 para todo
i < j y para todo primo P de altura menor que m−r. El criterio de exactitud
nos indica que H i (Lj) = 0 para todo i < j.
Observación. Interesados en conocer la cohomología de los complejos Lm+p
presentaremos el cálculo de la cohomología de ciertos complejos Lj(x1, . . . , xr)
isomorfos a Lj en cierta localización RP . Ellos se pueden asumir como una
generalización del complejo de Koszul. Por esta razón presentamos la siguiente
subsección :
2.2.2. Una Generalización del Complejo de Koszul
En este item trabajaremos en A una k−álgebra local e.t.f. Entre los principales
ejemplos de estas álgebras se encuentran los anillos (R, η) r.l.e.t.f., sus
localizaciones y los anillos R/I, donde I es un ideal de intersección completa
con una singularidad aislada.
En base a los complejos Lj para j > 0 daremos la siguiente definición :
Definición 2.41. Sea (A, η) un anillo local con una estructura de k−álgebra,
N = ⊕ m i=1A · dxi un A−módulo libre. Denotemos N i := ∧ i N, y N 0 = A. Definamos
los complejos Lj(dx1, . . . , dxr, N) con r ≤ m de la siguiente manera
|a|=j
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N 0
si j < m, y
δ
. . . δ
|a|=j
|a|=j−1
|a|=1
x a1
1 · · · xar r ⊗k A δ
x a1
1 · · · xar r ⊗k N δ
. . .
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N j−1
|a|=j−1
79
δ
|a|=0
x a1
1 · · · xar r ⊗k N δ
. . .
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N j ,