PhD Thesis

Prueba. Será suficiente demostrar que en el anillo RP la secuencia f1, . . . , fr
es parte de una secuencia regular de parámetros. Esto último es claro pues
los elementos df1, . . . , dfr tienen como ideal jacobiano la unidad.
Observación. Cuando el anillo R es r.l.e.t.f. se tiene una propiedad importante
: Para todo ideal propio I de R se cumple ht(I) = profundidad(I) (ver
Teorema A.20 del Apéndice). Esta propiedad se debe al hecho que un anillo
r.l.e.t.f. es Cohen Macaulay (ver Proposición A.19). Por ello en adelante no
distinguiremos las dos definiciones altura y profundidad de un ideal; teniendo
en cuenta -claro está- que el anillo donde se hace esta identificación sea
Cohen Macaulay.
Cuando el ideal I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada y es generado por
un sólo polinomio tenemos la siguiente caracterización (en el caso particular
que k sea el cuerpo de los números complejos obtenemos la Proposición 1.2
de [Looj]).
Proposición 2.4. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f e I = 〈f〉 ⊂ η un ideal.
Entonces las siguientes afirmaciones son equivalentes
1. 〈f, Jf〉 ⊃ ηj para algún j.
2. Jf ⊃ ηj para algún j.
3. dimk( R ) < ∞.
Jf
4. dimk( R
〈Jf ,f〉
) < ∞.
Observación. Las dimensiones de R/Jf y R/ 〈Jf, f〉 -en las equivalencias 3
y 4- se llaman Número de Milnor y Tjurina respectivamente
Prueba. La equivalencia de 1 y 2 se debe a que f ∈ Jf ( Corolario 1.38.)
Para demostrar que 2 implica 3, si usamos el epimorfismo
R/η j −→ R/Jf,
(que proviene de la hipótesis Jf ⊃ η j ), será suficiente notar que R/η j es un
espacio vectorial de dimensión finita.
Sea R/Jf es un espacio vectorial de dimensión finita. Del epimorfismo
R/Jf −→ R/ 〈Jf, f〉
se sigue que R/ 〈Jf, f〉 es un espacio vectorial de dimensión finita. Es decir,
3 implica 4.
Finalmente para demostrar que 4 implica 1 usaremos el hecho que si M
es un R−módulo de k−dimensión finita, entonces existe j en los naturales
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