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se escribe como un bicomplejo (Bs,t, δ1 + dfr) Bp+1,−p δ1 dfr Bp,−p δ1 . .. dfr . .. δ1 · · · . .. ∂ dfr B2,−1 dfr Bm 1,−1 δ1 δ1 δ1 · · · dfr B m−2 2,0 dfr B1,0 dfr B0,0 δ1 δ1 δ1 . . . . . . · · · . Lema 2.71. El complejo (Bs,t, δ1 + dfr) está bien definido. Prueba. Sea x ∈ y a1 1 . . . yar r ω ∈ Bs,t = Ωs+t,s = |α|=s+t+p;ar=s. yαΩm−s−t , entonces r−1 δ(x) = y a1 v=1 1 · · · y av−1 v . . . y ar r dfv ∧ ω + y a1 1 . . . y ar−1 r−1 y ar−1 r dfr ∧ ω, a1 + · · · + (av − 1) + · · · + ar = s + (t − 1) + p y dfv ∧ ω ∈ Ω m−s−(t−1)+p y ar = s. Esto significa, por definición, que El término r−1 δ1(x) := y a1 v=1 se encuentra en el módulo 1 · · · y av−1 v |α|=(s−1)+t+p;ar=s−1 y a1 1 . . . y ar−1 . . . y ar r dfv ∧ ω ∈ Ω m−s−(t−1) s+(t−1),s = Bs,t−1. r−1 y ar−1 r dfr ∧ ω f α Ω m−(s−1)−t = Ω m−(s−1)−t s−1+t,s−1 = Bs−1,t. 107
Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L ′ m+p son iguales. Prueba. Se sigue de la definición de (Bs,t, δ1, dfr). Observación. Del complejo doble (Bs,t, δ1, dfr) tomamos el sub-complejo doble E ′ s,t = Bs,t para t ≤ 0. . δ1 dfr Bp+1,−p δ1 dfr Bp,−p δ1 . .. dfr .. . dfr .. . .. . δ1 δ1 δ1 ∂ . dfr . . . dfr · · · dfr B2,−1 dfr Bm 1,−1 δ1 δ1 δ1 δ1 δ1 . dfr . . . dfr · · · dfr B m−2 2,0 dfr B1,0 dfr B0,0 Observación. De la definición del bicomplejos (E ′ s,t, δ1, dfr) tenemos que las columnas son dadas por los complejos 0 E ′ dfr m+p,−p · · · dfr E ′ p+1,−p dfr E ′ p,−p, donde el morfismo borde dfr : E ′ i,−p −→ E ′ i−1,−p es definido de la siguiente manera dfr : |a|=i−p+p;ar=i y a Ω m−i+p −→ |a|=i−1−p+p;ar=i−1 dfr(y a1 1 . . . y ar r ω) = y a1 1 . . . y ar−1 r 108 dfr ∧ ω. y a Ω m−i+1+p
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Resumen Sea A = R/I un anillo regul
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Índice general Introducción III 1
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Introducción En la presente tesis
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para valores j mayores que la dimen
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E 1 2,0 = T or2(Mk, R I ) E1 1,0 =
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En relación a la homología cícli
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atra´s nos permiten establecer el
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Otra forma de abordar el estudio de
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1.1. Homología de Hochschild En es
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Definición 1.5. Sean A una k-álge
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Observación. Notemos que todas las
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Observación. En esta tesis trabaja
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〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano
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En efecto, como df = Σi=1,...,mfid
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σ |σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , a
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1.2. Homología Cíclica. Presentam
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Prueba. Es suficiente tomar la secu
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Definamos los módulos HHn(A) ˜ :=
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Observación. De las definiciones a
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Prueba. La demostración se basa en
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La homología cíclica del A.D.G (A
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entonces T ot(D)n = p+q=n i≥0 M
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Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y
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donde N = 〈1 ⊗ ab − (−1) |a
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concluimos la prueba del lema. Una
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Sean x, y elementos en ∧V. Sin pe
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con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el
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Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :
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indicando con ello que θ ′ 1 es
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Prueba. [CGG, Corolario 2.7]. Note
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y ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω
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donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj
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para convertir a los polinomios f1,
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términos de cohomología no nulos.
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tal que η j · M = 0. En el caso q
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Prueba. Por definición (E ′ m+p(
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se denotará como β β . . . E∗
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Prueba. La demostración será por
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. . . 0 Lm+p−i−1(f) 0 Lm+p−
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Como β(x) = x, entonces el morfism
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que finalizan en I. Si el ideal I n
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Definición A.9. Sea (R, η) un ani
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Observación. Notemos que esta defi
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A.2. Complejo Koszul Nuestro princi
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Prueba. [Eis, Teorema 17.1] . Corol
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De la hipótesis inductiva se sigue
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Observación. Notemos también que
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Prueba. Del Corolario anterior tene
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Por lo tanto fk,j = s gk,iλi,j, es
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Como M/N η · M/N = M N ⊗ R/η,
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esta bien definida. Más aún si x
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Como h(dx), h(dy) ∈ J y J 2 = 0 (
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Prueba. Del Lema A.61 tenemos que Q
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[CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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