PhD Thesis

Prueba. [Mats, Proposición 7.G].
Definición A.28. Sea R un anillo e I un ideal. Sea Ass(R/I) = {P1, . . . , Ps}.
Diremos que I es Unmixed si ht(Pi) = ht(I) para todo i.
Proposición A.29. Sea (R, η) un anillo local de dimension m. Entonces las
siguientes afirmaciones son equivalentes :
1)(R, η) es Cohen Macaulay, es decir, profundidad(R) = m.
2) Si J = 〈a1, . . . , ar〉 es un ideal de altura r generado por r elementos
entonces J v es unmixed para todo entero v.
3) Si a1, . . . , ar y J cumplen las hipótesis de (2) entonces
grJ(R) (R/J)[x1, . . . , xr]
4) Existe un sistema de parámetros a1, . . . , an tal que
grI(R) (R/I)[x1, . . . , xn],
donde I = 〈a1, . . . , an〉 .
Nota. En 3 y 4 los isomorfismos son naturales. Ellos son definidos como
ai mod J 2 ↦→ xi.
Prueba. [Mats, Teorema 32].
Corolario A.30. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. I = 〈f1, . . . , fr〉 un ideal
generado por una secuencia regular entonces
I s
I s+1 ((R/I)[x1, . . . , xr]) s ,
donde ((R/I)[x1, . . . , xr]) s representa en R/I−módulo de los polinomios de
grado s con coeficientes en R/I.
Prueba. Como f1, . . . , fr forman una secuencia regular entonces ht(I) = r.
De la Proposición A.29 tenemos que
gr I (R) R/I[x1, . . . , xr].
Donde el isomorfismo es definido como f i ↦→ xi. Denotemos a este isomor-
fismo como ϕ. Un elemento generador de I s es de la forma z = αf a1
1 . . . f ar
r ,
donde a1+· · ·+ar = s, y α ∈ R. De la definición del isomorfismo ϕ obtenemos
ϕ(z) = αx a1
1 . . . xar r . De aquí se prueba que el R/I−módulo Is
representan
Is+1 los polinomios de grado s sobre R/I.
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