PhD Thesis

como k − 1 es impar y β(∂(ak)) = −∂(β(ak)), la última expresión se puede
escribir
(−1) i0+(i1+1)+···+(ik−1+1) (−1) i1+i3+··· a0β(a1) · · · ∂(β(ak)) · · · β(ap).
Si k es impar obtenemos
(−1) i0+···+ik−1 (−1) i1+i3+···+(ik−1)+··· a0β(a1) · · · β(∂(ak)) · · · β(ap)
como β(∂(ak)) = −∂(β(ak)) y k − 1 es par
(−1) i0+(i1+1)+···+(ik−1+1) (−1) i1+i3+···+(ik−1)+···+1 a0β(a1) · · · ∂(β(ak)) · · · β(ap).
Del análisis anterior es claro que θ◦∂ = ∂◦β. La última igualdad se demuestra
de manera similar.
A continuación abordamos la segunda parte de la demostración. Establecemos
un quasiisomorfismo entre los bicomplejos (Tp,q, b+∂) y (ξ(A)p,q, 0+δ).
Para ello será suficiente demostrar que θ establece un quasiisomorfismo entre
(Tp,q, b) y (ξ(A)p,q, 0). Aquí nuevamente estamos usando el mismo argumento
que se usó en el Teorema 1.82. Tomando homología en estos últimos complejos
obtenemos el morfismo
como ξ1 = ∧V ⊗ V definamos
como θ ′ 1(x ⊗ v) = x ⊗ v. Notemos que
θ1 : H1(Tp,q, b) −→ ξ1,
θ ′ 1 : ∧V ⊗ V → H1(Tp,q, b)
θ1 ◦ θ ′ 1(x ⊗ v) = θ1(x ⊗ v) = (−1) |v| x ⊗ v
de lo que se concluye que θ es inyectiva. Para sobreyectividad es suficiente
observar el cociente
H1(Tp,q, b) =
∧V ⊗ ∧V
ab ⊗ c − a ⊗ bc + (−1) |c|(|a|+|b|) ca ⊗ b ,
él nos indica que todo elemento x ⊗ y = x ⊗ v1 · · · vl se puede escribir como
(−1) li xi ⊗ vi,
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