PhD Thesis

el complejo Lj tiene cohomología cero para todo i = j (Corolario 2.40).
Tomemos la secuencia exacta larga asociada
H t (Lj)
H t+1 (Lj)
· · ·
H j−1 (Lj)
H j (Lj)
Ht (Dj)
t+1 H (Dj)
· · ·
j−1 H (Dj)
j H (Dj)
π
Ht (Dj−1)
π
t+1 H (Dj−1)
· · ·
π
j−1 H (Dj−1)
0.
(3.2)
Como H i (Lj) = 0 para todo i = j y t ≤ j−2, se sigue que H i (Dj) = H i (Dj−1)
para todo i ≤ j − 2.
Un proceso inductivo concluye la prueba.
Proposición 3.4. Sea A1 = R/I y j < m − r entonces
para todo t ≤ j − 1.
H t (Dj) π ∗ (H t (Dj)) = H t DR(A1)
Prueba. Sea t = j − 1. En la secuencia 3.2, H j−1 (Lj) = 0 implica que
es inyectivo. Por el Lema 3.2
π : H j−1 (Dj) −→ H j−1 (Dj−1)
H j−1
DR (A1) = π ∗ (H j−1 (Dj)) H j−1 (Dj). (3.3)
En el caso general, por la Proposición 3.3
La fórmula 3.3 con j = t + 1 nos da
H t (Dj) H t (Dt+1).
H t (Dt+1) = π ∗ (H t (Dt+1)) = HDR(A1).
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