PhD Thesis

Notemos que puede ocurrir que ai − 1 < 0. De las dos últimas ecuaciones se
desprende que ϕ ◦ δ = δ ◦ ϕ. Es decir ϕ es un morfismo de complejos.
Es claro que ker(ϕ) = Lm+p(x1, . . . , xr−1) esta incluido de manera natural
en Lm+p(x1, . . . , xr).
El caso j < m es similar con un caso particular para ϕj.
Observación. En esta parte abordaremos el cálculo de los módulos de cohomología
de los complejos Lj(x1, . . . , xr) donde A es un álgebra como en la
Definición 2.41. Sean A una k−álgebra, y y1, . . . , ym variables. La A−álgebra
B := A[y1, . . . , ym] es suave sobre A. Por lo tanto del teorema de Hochschild-
Kostant-Rosenberg tenemos que
HH A n (B) = Ω n
B|A =
n [
m
B · dyi]
si n ≤ m y cero en otro término (ver [Wei, Ejercicio 9.1.3]). Es decir, HHn(B)
es un modulo B−libre, más aún la álgebra B es homológicamente regular. El
ideal I = 〈y1, . . . , yr〉 es intersección completa, y C := B/I = A[yr+1, . . . , ym]
es suave sobre A. Por lo tanto tenemos que
HH A n (C) = Ω n C =
n [
i=1
m
i=r+1
C · dyi],
si n < m − r + 1 y cero en los demás casos. Por otro lado, dado que I es
intersección completa, tenemos que
HH A [n/2]
n (C) = H n−2i (Ln−i),
donde el complejo Lj es de la forma
x
|a|=j
a1
1 · · · xar r ⊗k N 0
δ
x
|a|=j−1
a1
1 · · · xar
r ⊗k N δ . . .
. . . δ
|a|=1
i=0
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N j−1
δ
|a|=0
x a1
1 · · · x ar
r ⊗k N j ,
y N = Ω 1
B|A = Ω1 B|A ⊗B C. Notemos que ∧ j N = 0 si j > m y ∧ m N = B.
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