PhD Thesis

las columnas de complejo cíclico ( ˜ ξ, δ + β) (es decir el complejo (ξ, δ, 0))
se descomponen en las primeras columnas de los complejos ( ˜ ξ j , δ + β), (ver
Definición 1.76) y el cociente ( ˜ ξ j , δ +β)/(ξ j , δ) = (( ˜ ξ j−1 , δ +β)) descomponen
al complejo ( ˜ ξ j , δ+β)[−2]. Por lo tanto del diagrama conmutativo establecido
anteriormente se prueba que la secuencia S.B.I se parte en las cohomologías
de los complejos
0
(ξj,∗, δ, 0)
( ξ˜ j , δ + β)
( ξ˜ j−1 , δ + β)
Usando el hecho que ξ p
p+q = ξp,q tenemos que la secuencia S.B.I se descompone
en las secuencias exactas de cohomología de los complejos
0
j
(ξj+∗ , δ, 0)
j (ξ , δ + β)
j−1 (ξ , δ + β)
Finalmente, de la prueba Teorema 1.106 se tiene el diagrama conmutativo
0
0
(ξi j+k , δ)k≥0
2j−∗
Lj
j T ot(ξ , δ, β)
2j−∗
Dj
j−1 T ot(ξ , δ, β)
2j−∗
Dj−1 donde los morfismos verticales son quasisomorfismos. De aquí tenemos que la
secuencia S.B.I se descompone en las sumas de las secuencias exactas largas
H ∗−1 (Lj)
H ∗ (Lj)
I
∗−1 H (Dj)
H∗ (Dj)
S
∗−1 H (Dj−1) B
H∗ (Dj−1)
Recordemos que si el álgebra A = A0/I es graduada del Teorema 1.63 tenemos
que la aplicación S = 0. La situación más relevante, en nuestro caso,
se presenta cuando el ideal I es generado por polinomios f1, . . . , fr quasihomogéneos.
Esta conclusión se enuncia en el siguiente Corolario :
Corolario 1.108. Sea (R, η) = (k[x1, . . . , xn](x1,...,xn), η), I = 〈f1, . . . , fr〉
un ideal generado por polinomios quasihomogéneos. Entonces la aplicación
π ∗ : H ∗ (Dj) → H ∗ (Dj−1) es nula.
Prueba. Como los generadores del ideal I son qusihomogéneos de grado d
entonces por definición podemos proporcionar pesos a las variables x1, . . . , xn
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0.
0.
0.
0,