PhD Thesis

es conmutativo. Esto significa que el complejo
Ω 0
R
df
1
ΩR es quasi isomorfo al complejo exacto
Ω 0
R
dx1
1
ΩR Del Corolario 1.107 se desprende que
df
. . .
df
m
ΩR dx1 dx1
. . .
m
ΩR
0,
0.
HHn(R/ 〈f〉) = H n (Ln) = Ω n /(dx1 ∧ Ω n−1 ) Ω n R/〈f〉,
si n < m. Esto nos indica que HHn(A) = Ωn A , para todo valor de n < m y
cero para valores mayores o iguales a m, donde A = R/ 〈f〉 .
Observación. El Propósito del ejemplo anterior es ilustrar la técnica que en
él se emplea. Una manera directa de calcular HH∗(A) cuando A = R/ 〈f〉 y
f es regular, es usar el Teorema 1.51 (ver Lema A.57).
Observación. Si a la hipótesis de intersección completa impuesta al ideal I
(recordemos que esta hipótesis es la que nos permite usar el Corolario 1.107)
le agregamos la hipótesis de singularidad aislada, es decir
tenemos la siguiente Proposición.
ht(〈Jf, f〉) = dim(R) = m
Proposición 2.30. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. e I = 〈f〉 un ideal con una
singularidad aislada. La cohomología de los complejos Lj para j ≥ m cumple
para todo s ≤ m.
Prueba. En efecto, sea
Lj : (Ω 0 R
df
1 ΩR df
H s (Lj) = T orm−s( R
. . .
Jf
, R
I )
df
m ΩR ) ⊗R R
I = K(fx1, . . . , fxm) ⊗R R/I,
donde df = m
i=1 dfxi dxi. Como I = 〈f〉 tiene una singularidad aislada en η
entonces {fx1, . . . , fxm} forman una secuencia regular. Por lo tanto el complejo
Koszul K(fx1, . . . , fxm) de fx1, . . . , fx1 es una resolución de R/Jf Ω m /df,
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