PhD Thesis

2.2.3. Cálculo de la Homología de Hochschild
En esta parte nos encaminamos en dirección al cálculo de los módulos de
cohomología de los complejos Lj. Como sabemos el complejo L ′ m no es exacto
en general. En relación a sus módulos de cohomología podemos precisar lo
siguiente :
Los módulos de cohomología del complejo L ′ m+p están soportados en los primos
P que contienen al ideal Jf,g.
Él es pieza fundamental para demostrar que los complejos Lm+p para k ≥ 0
sólo tienen tres términos de cohomología no nulos. Este Teorema será uno
de los pilares donde se sentara las bases de la siguiente sección. La igualdad
ht(JF ) = m − r + 1 conjuntamente con el resultado anterior nos permitirán
demostrar :
Los complejos Lj para j ≤ m−2 tienen cohomología cero para todo i = j.
Para j = m − 1 llegamos a que H s (Lm−1) = T orm−1−s(Jf/Jf,g, R/I). Finalmente
para j ≥ m presentamos una secuencia espectral Ep,q que converge a
la cohomología de los complejos Lm+p y E 2 = E ∞ .
Los cálculos mencionados líneas atrás se sintetizan en el siguiente Teorema
Teorema 2.46. Sea j ∈ N entonces
H i ⎧
0 si i < min{j, m − 2}.
⎪⎨
df ∧ Ω
(Lj) =
⎪⎩
j
⊗ R/I si i = j y j ≤ m.
df ∧ dg ∧ Ωj−1 T orm−1−i( Jf
, R/I) si j = m − 1.
Jf,g
T or1(H m−1 (Cp+1), R/I) si j > m − 1 e i = m − 2,
(2.14)
donde Cp+1 = (L ′ m+p) ≤m−1 (ver Proposición 2.55). Para los términos en nivel
m − 1 y m presentamos una secuencia espectral
E 1 2,0 = T or2(Mp, R
I )
E1 1,0 = T or1(Mp, R
I ) E1 1,1 = T or1(Mp, R
d1
E1 0,0 = T or0(Mp, R
I )) E1 0,1 = T or0( Jg R , Jf,g I ),
d1
84
I )
(2.15)