PhD Thesis

con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el complejo
· · · ∧ V ⊗ ∧pV ⊗ ∧V δ
p−1 ∧V ⊗ ∧ V ⊗ ∧V
· · ·
∧V ⊗ ∧V
donde m(x ⊗ y) = xy, es exacto salvo posiblemente en el último nivel.
Prueba. Sea (∧V, 0) y (∧V ⊗ ∧V, D) donde D(v) = v y D 2 = 0. Veamos
que este último complejo es exacto. Si V = 0 no hay nada que probar. Por
lo tanto podemos asumir que V = 0 y tomar una base (B, ≺) totalmente
ordenada de V ; entonces en elementos de ∧(k · w1) ⊗ ∧(k · w1) definimos :
Si |w| es impar h(w p ⊗ w) = w p+1 /(p + 1), y h(w p ) = 0. Si |w| es par
h(w ⊗ w p ) = 0 y h(w p ) = w ⊗ w p−1 . De la definición anterior tenemos : Si
|w| es impar,
(hD + Dh)(w p ⊗ w) = Dh(w p ⊗ w) = D(w p+1 /(p + 1)) = w p ⊗ w
pues hD(w p ⊗ w) = w p ⊗ w 2 = 0 (pues w 2 = 0) y
(hD + Dh)(w p ) = hD(w p ) = h(pw p−1 ⊗ w) = w p .
En el caso cuando |w| es par el análisis es similar. Si definimos
A(w1, · · · , wr) = ∧(k · w1) ⊗ ∧(k · w1) ⊗ · · · ⊗ ∧(k · wr) ⊗ ∧(k · wr),
para una secuencia estrictamente creciente w1 < · · · < wr, h se extiende a
una aplicación
h : ∧ ∗ V ⊗ ∧V −→ ∧ ∗+1 V ⊗ ∧V,
definida como h(x1, · · · , xr) = (−1) |x1|+···+|xr|
x1 ⊗ · · · ⊗ xr−1 ⊗ h(xr), pues
∧ ∗ V ⊗ ∧V =
A(w1, · · · , wr)
De aquí obtenemos
r≥1
w1