PhD Thesis

T or1( R R , I Jf )
T or0( R R , I Jf )
· · ·
m−1 H (Lm)
Ω m
df+dg .
m−2 H (Lm−1)
Ω m−1
df+dg
δ1
δ0
Sin dificultad se prueba que δ0 = 0 pues Jg ⊂ Jf y entonces δ0([ω]) =
[dg ∧ ω] = 0 ∈ H m (K(fx1, . . . , fxm)⊗R/I) = R/Jf = R/Jg. Veamos qué sucede
con δ1. Sea [(w0, w1)] un elemento en el módulo H m−2 (Lm−1). Entonces para
representantes (w0, w1) en la clase (w0, w1) de (Lm−1)m−2 se cumple
df ∧ w1 + dg ∧ w0 = f · η1 + g · η2.
Si efectuamos el producto dg∧ en la igualdad anterior tenemos
dg ∧ (df ∧ w1 + dg ∧ w0) = dg ∧ (f · η1 + g · η2) (2.8)
Como Jf = Jg se tiene dg ∧ η1, dg ∧ η2 ∈ dg ∧ Ω m−1
R
Entonces existen η ′ 1, η ′ 2 ∈ Ω m−1
R
Por lo tanto podemos escribir
Jg = Jf df ∧ Ω m−1
R
.
tal que dg ∧ η1 = df ∧ η ′ 1 y dg ∧ η2 = df ∧ η ′ 2.
(f · dg ∧ η1 + g · dg ∧ η2) = (f · df ∧ η ′ 1 + g · df ∧ η ′ 2).
De aquí se sigue que la ecuación 2.8 se escribe como
Si factorizamos df∧ obtenemos
dg ∧ df ∧ w1 − (f · df ∧ η ′ 1 + g · df ∧ η ′ 2) = 0.
df ∧ (dg ∧ w1 + f · η ′ 1 + g · η ′ 2) = 0.
Como df∧ es el diferencial del complejo K(fx1, . . . , fxm) que tiene cohomología
cero en todos los grados salvo en nivel m (pues ht(Jf) = m), tenemos
que dg∧w1+(f ·η ′ 1+g·η ′ 2) = df ∧η2, para algún η2. Es decir dg ∧ ω1 = df ∧ η2
en Ω m−1 y
δ1([(w1, w2)]) = [dg ∧ w1] = [df ∧ η2] = 0
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