PhD Thesis

Prueba. Por la proposición, reindexando, L ′ m−1 es una resolución de
H m−1 (L ′ m−1) Jf
(Lema 2.35) y Lm−1 = L ′ m−1 ⊗ R/I. Entonces
Jf,g
H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗( Jf
Jf,g
, R/I).
Observación. El corolario anterior es una generalización del Corolario 2.30.
Observación. Hemos expresado los módulos de cohomología del complejo
Lm−1 en función de T or∗(R/I, Jf/Jf,g). A continuación veremos cuantos de
ellos son nulos.
Corolario 2.51. Si i = m − 1, m − 2 entonces H i (Lm−1) = 0.
Prueba. Se sigue del corolario 2.40.
Observación. A continuación veremos que la cohomología de los complejos
L ′ j cumple que H i (L ′ j) = 0 si i = j < m − 1. Existen diferentes maneras de
demostrar esta afirmación (ver Corolario 2.40), nosotros nos basaremos en el
criterio de exactitud.
Corolario 2.52. Los complejos L ′ j son exactos ∀j < m − 1 salvo en grado j.
Prueba. Sea L ′ j con j < m−1 entonces el complejo tienen longitud j. Sea P
un ideal primo tal que ht(P ) < j. Como ht(Jf,g) ≥ m − 1 entonces P Jf,g.
Del Teorema 2.47 se sigue que (L ′ j)P es exacto salvo posiblemente en grado
j. Una aplicación directa del criterio de exactitud finaliza la prueba.
Observación. Del argumento del Corolario 2.40 obtenemos que H i (Lj) = 0
si i = j ≤ m − 2. A continuación nosotros presentaremos otra demostración.
Proposición 2.53. Sea j ≤ m − 2 entonces para todo t = j tenemos
H t (Lj) = 0.
87