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. M30 ⊕ M21 ⊕ M12 ⊕ M03 d M20 ⊕ M11 ⊕ M02 d M10 ⊕ M01 d M00 B . M20 ⊕ M11 ⊕ M02 M10 ⊕ M01 d M00 . . . . M00 Analizando los morfismos vemos que D se descompone en los complejos E 0 ∗, E 1 ∗ y E 2 ∗, . . . los cuales son . M02 d M01 d M00 . M12 M11 M10 B . d M02 d M01 d M00 . . M22 M12 M02 d M21 M11 M01 d M20 B M10 M00 . . . . respectivamente. De aquí obtenemos que HC0(D) es la homología en nivel cero del primer complejo, HC1(D) resulta la suma de la homología de grado uno del primer complejo y cero del segundo complejo. Finalmente HC2(D) resulta la suma de la homología en grado dos del primer complejo, en grado uno del segundo y cero del tercer complejo. En general tenemos: T ot(D)n = i≥0 Mn−2i = i≥0 , y como n−2i Mp,q Mn : Mn,0 ⊕ Mn−1,1 ⊕ Mn−2,2 ⊕ . . . ⊕ M2,n−2 ⊕ M1,n−1 ⊕ M0.n Mn−2 : 0 ⊕ Mn−2,0 ⊕ Mn−3,1 ⊕ . . . ⊕ M1,n−3 ⊕ M0,n−2 ⊕ 0 Mn−4 : 0 ⊕ 0 ⊕ Mn−4,0 ⊕ . . . ⊕ M0,n−4 ⊕ 0 ⊕ 0 27
entonces T ot(D)n = p+q=n i≥0 Mp−i,q−i . Por lo tanto, si definimos Ep q := i≥0 Mp−i,q−i tenemos que (Ep ∗, B + b) es un bicomplejo. En efec- to si (ap,q+1, ap−1,q, . . . , an−k−i,k+1−i, an−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) ∈ E p q+1 entonces (B + d)(ap,q+1, ap−1,q, . . . , an−k−i,k+1−i, an−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) = (dap,q+1+Bap−1,q, dap−1,q+Bap−2,q, . . . , dan−k−i,k+1−i+Ban−k−(i+1),k+1−(i+1), . . .) ∈ E p q . Mas aún T ot(D)n = p+q=n Ep q y HCn(M) = n p=0 Hn−p(Ep ∗). La afirmación anterior se refleja en el siguiente diagrama T otn+1 = E0 n+1⊕ E1 n⊕ ⊕ . . . ⊕ T otn = E0 n⊕ E1 n−1⊕ E 2 n−1 E2 n−2 ⊕ . . . ⊕ T otn−1 = E0 n−1⊕ E1 n−2 E2 n−3 ⊕ . . . ⊕ 0 el cual en cada sumando se escribe como E n−k k+1 : Mn−k,k+1 Mn−k,k Mn−k−1,k Mn−k−1,k−1 Mn−k−2,k−1 Mn−k−2,k−2. E n+1 0 Con ello vemos en la definición anterior que si b = 0, la homología cíclica se descompone en suma de la homología de ciertos complejos (E p ∗, d + B). La homología de Hochschild tiene una descomposición similar. Definición 1.77. Dado (Mp,q, b, d) y B : Mp,q → Mp+1,q, donde B ◦ B = B ◦ d + d ◦ B = B ◦ b + b ◦ B = 0. Definamos el bicomplejo negativo CN 28 0
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. . . δ |a|=j−m+1 x a1 1 · ·
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Notemos que puede ocurrir que ai
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2.2.3. Cálculo de la Homología de
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como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi
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Prueba. Sea P un ideal primo en el
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Cp+1 : . Ω m−2 2,p+2 df Ω
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Por lo tanto Gr(H m−1 (C1)) = H m
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Con esta notación el bicomplejo L
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Teorema 2.62. Existe una secuencia
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intercambiar el rol de f por el de
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Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1
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son cero, para todo p ≥ 1. En efe
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2.3. Homología de Hochschild para
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se trata de M(x1, . . . , xr) el de
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Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L
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Bp+1,−p δ1 dfr Bp,−p δ1 .
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y a1 1 · · · yar r ω → y a1 1
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Teorema 2.76. Sea (R, η) un anillo
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En el caso que el ideal I = 〈f, g
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para todo i = m − r + 1. Del crit
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En general los módulos de cohomolo
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Capítulo 3 Homología Cíclica. Lo
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el complejo Lj tiene cohomología c
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para todo t ≤ m − r − 2. Si t
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3.2. El Caso Quasihomogéneo En est
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tomamos la secuencia exacta larga
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Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0
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Observación. Del Capítulo anterio
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Prueba. El Lema 3.15 nos permite as
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Definamos el número de Milnor de l
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entonces en el anillo R/Jf,g tendr
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. . . . B d Ω2,1 B . d Ω1,1
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Como lím 1 H( ˆ Dj) = 0 entonces
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. . . Ωm−1 · x · xp+2 ⊕ Ω
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El complejo L ′ m+p se escribe co
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Lema 3.28. El morfismo β restricto
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Si z = ωxiyj y ∈ (E ′ m+p(0))t
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Gr(H m (Γ(f, g))) = ⊕p≥0H m (E
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F y una filtración del mismo. Del
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Prueba. Por definición (E ′ m+p(
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se denotará como β β . . . E∗
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. . . 0 Lm+p−i−1(f) 0 Lm+p−
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Como β(x) = x, entonces el morfism
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que finalizan en I. Si el ideal I n
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Definición A.9. Sea (R, η) un ani
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A.2. Complejo Koszul Nuestro princi
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De la hipótesis inductiva se sigue
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Prueba. Del Lema A.61 tenemos que Q
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[CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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