PhD Thesis

para todo i = j para j ≤ m − 2. El hecho que H i (L ′ j) = 0 para todo i = j
para j < m nos permite escribir
H s (Lj) = T orj−s(H j (L ′ j), R/I)).
Como los complejos Lj para j ≤ m − 1 son exactos salvo en el último nivel,
T ort(H j (L ′ j), R/I)) = 0 para todo t > 0. Esto significa que f, g forman una
secuencia H j (L ′ j)−regular.
Luego demostramos que los complejos Lj para valores de j mayores o
iguales que la dimensión del anillo R sólo tienen tres términos no nulos en
cohomología. También describimos su último término de cohomología como
una generalización de (1) :
Para todo j ≥ m se cumple : los módulos de cohomología de los complejos
Lj son cero para todo grado menor m − 2. Los términos en grado m − 2 se
expresan como
T or1(H m−1 (L ′≤m−1
j ), R/I).
Aquí L ′≤m−1
j es el complejo truncado en nivel m − 1. Las pruebas se encuentran
en el Teorema 2.54 y Corolario 2.59 . Con respecto a la cohomología
de los complejos Lm+k en grados m y m − 1 mostramos que existe una secuencia
espectral Er p,q que converge a la cohomología de los complejos Lm+k
y colapsa en el segundo término (Teorema 2.62).
Esta información se puede resumir en el siguiente cuadro
H i ⎧
0 si i < min{j, m − 2}.
⎪⎨
df ∧ Ω
(Lj) =
⎪⎩
j
⊗ R/I si i = j y j ≤ m.
df ∧ dg ∧ Ωj−1 T orm−1−i( Jf
, R/I) si j = m − 1.
Jf,g
T or1(H m−1 (Ck+1), R/I) si j > m − 1 e i = m − 2,
donde Ck+1 = (L ′ m+k )≤m−1 (ver Proposición 2.55). Para los términos en nivel
m − 1 y m presentamos una secuencia espectral
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