PhD Thesis

Prueba. De la secuencia exacta corta
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K(fx1, . . . , . . . fxm) ⊗ R/I
obtenemos la secuencia exacta larga
H m−2 (K ⊗ R/I)
H m−1 (K ⊗ R/I)
H m (K ⊗ R/I)
m−2 H (Lm+s)
m−1 H (Lm+s)
m H (Lm+s)
Lm+s
Lm+s−1
m−2 H (Lm+s−1)
m−1 H (Lm+s−1)
m H (Lm+s−1).
Sabemos que la suma y resta alternada de las dimensiones en la secuencia
anterior es cero, es decir tenemos
dim(H m−2 (K⊗R/I))−dim(T or(H m−2 ((L ′ m+s) ≤m−1 , R/I)))+dim(H m−2 (Lm+s−1))
−dim(H m−1 (K ⊗ R/I)) + dim(H m−1 (Lm+s)) − dim(H m−1 (Lm+s−1))
+dim(H m (K ⊗ R/I)) − dim(H m (Lm+s)) + dim(H m (Lm+s−1)) = 0.
De aquí es simple hallar la dimensión de H m−1 ((L ′ m+s)).
Más aún recordemos que los complejos Lj para j < m − r + 1 son exactos
(ver Corolario 2.40), en el caso que j = m − r + 1 tenemos el siguiente
resultado.
Lema 2.79. Sea I = 〈f1, . . . , fr〉 una icis entonces
H ∗ (Lm−r+1) = T orm−r−1−∗(H m−r+1 (L ′ m−r+1), R/I)
Prueba. Notemos que la longitud del complejo L ′ m−r+1 es m − r + 1, y
ht(JF ) = m − r + 1. Sea P un primo de altura menor que m − r + 1 entonces
P no contiene a JF , el ideal jacobiano de F . De la Corolario 2.70 se sigue
que
H i ((Lm−r+1)P ) = 0
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