PhD Thesis

Prueba. De la definición de anillo Cohen Macaulay tenemos que
Esto significa que
profundidad(R) = dim(R).
profundidad(η) = ht(η).
Como η el único ideal maximal de R, del Teorema A.19 se desprende que
ht(I) = profundidad(I)
para todo ideal I propio de R
Corolario A.21. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., y ∈ η. Entonces
Prueba. Del Lema A.16 obtenemos
ht(〈I, y〉) ≤ ht(I) + 1.
profundidad(〈I, y〉) ≤ profundidad(I) + 1. (A.1)
Por otro lado del Teorema anterior se sigue que profundidad(〈I, y〉) = ht(〈I, y〉)
y profundidad(I) = ht(I). Entonces de A.1 se sigue
ht(〈I, y〉) ≤ ht(I) + 1.
Proposición A.22. Sea (R, η) un anillo local Cohen Macaulay. Entonces
para todo ideal I tenemos
ht(I) + dim(R/I) = dim(R).
Prueba. [Mats, Teorema 29, parte (i)] (por esto ht(I) se llama también
codimensión.)
Teorema A.23. Sea R un anillo regular local y {x1, . . . , xm} una secuencia
regular de parámetros. Entonces
1) R es un dominio que es integralmente cerrado en su cuerpo de fracciones.
2) x1, . . . , xm es una secuencia regular y por tanto R es un anillo Cohen
Macaulay.
3)〈x1, . . . , xi〉 = Pi es un ideal primo de altura i para cada 1 ≤ i ≤ m y
A/Pi es un anillo regular local de dimensión d − i.
4)Recíprocamente, ∀ 0 ≤ i ≤ m si P es un ideal primo de R y si R/P
es regular y tiene dimensión d − i entonces existe un sistema regular de
parámetros y1, . . . , ym tal que P = 〈y1, . . . , yi〉 .
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