PhD Thesis

Lema 3.28. El morfismo β restricto a (L ′ m+p)sy ⊕ (L ′ m+p)s−1 cumple
y β ◦ δ + δ ◦ β = 0.
β((L ′ m+p)∗y ⊕ (L ′ m+p)s−1) ⊂ (L ′ m+p+1)s+1y ⊕ (L ′ m+p+1)s,
Prueba. Sea z ∈ (L ′ m+p)sy ⊕ (L ′ m+p)s−1. Si z = ωxayly ∈ (L ′ m+p)sy =
⊕ p+m−s
l=0
Ωsm−s,l,m+py entonces
Por definición
β(z) = dDR(ω)x a y l y + (−1) |ω| x a y l+1 ω.
(L ′ m+p+1)s+1y = ⊕ p+1+m−s−1
l=0 Ω s+1
m−s−1,l,m+p
y = ⊕p+1+m−s−1
l=0
x a y l Ω s+1 y
tal que a + l + s + 1 = m + p + 1. De aquí se sigue que dDR(ω)x a y l y ∈
(L ′ m+p+1)s+1y. De igual modo por definición tenemos que
(L ′ m+p+1)s = ⊕ p+1+m−s
l=0
Ωm−s,l,m+p+1 = ⊕ p+1+m−s
l=0 x a y l Ω s
tal que a + l + s = m + p + 1. Por lo tanto (−1) |ω| x a y l+1 ω ∈ (L ′ m+p+1)s.
De manera similar se prueba que β(z) ∈ (L ′ m+p+1)s+1y ⊕ (L ′ m+p+1)s si z ∈
(L ′ m+p)s−1.
Finalmente la ecuación β ◦ δ + δ ◦ β = 0 se cumple debido al hecho que
esta igualdad se cumple en el complejo Ω ≥m , ver Definición 2.3 de [CGG].
Por lo tanto existe una secuencia exacta corta
0
Ω ≥m
f
≥m Ω (f, g)
Ω ≥m
f [−1]
0.
Observación. Notemos que como módulos graduados los complejos Cm+p
y L ′ m+p ⊗ K(f) son iguales. Sus morfismos borde son iguales salvo signo.
Es decir las cohomología de ambos son iguales. Por este motivo a Cm+p lo
denotaremos como L ′ m+p ⊗ K(f).
3.4.2. El Complejo M(f, g)
Esta parte esta dedicada a demostrar la buena definición de cierto subcomplejo
M(f, g) de Ω ≥m
f .
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