PhD Thesis

Por lo tanto fk,j = s
gk,iλi,j, es decir
i=1
Jac(F ) = Jac(G) · Λ,
donde Λ = (λi,j).
Del Corolario A.47 se sigue que los menores de orden c de jac(F ) son
combinación lineal de menores de Jac(G) de orden c, es decir JF ⊆ JG. De
la misma manera se prueba que JG ⊆ JF .
Notemos que no existe restricción sobre los número de generadores r y s
del ideal I. Es decir puede suceder que r ≥ m o r < m, lo mismo para s.
Corolario A.52. La definición de singularidad aislada de tipo intersección
completa de I = 〈f1, . . . , fr〉 no depende de los representantes del ideal I ni
del ideal Jacobiano.
Prueba. De la Proposición anterior tenemos que para generadores f1, . . . , fr
y g1, . . . , gt se cumple JF = JG en el anillo R/I. Esto significa que
〈JF , I〉 = 〈JG, I〉 .
Es decir ht(〈JF , I〉) = ht(〈JG, I〉). Por lo tanto la definición de una icis no
depende de los representantes de I ni del ideal jacobiano de estos representantes.
Observación. A continuación presentaremos los ingredientes que nos permitirán
probar lo siguiente : los elementos dxi forman una base de Ω 1 R si
{x1, . . . , xm} forman una secuencia regular de parámetros de R.
Lema A.53. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. y x1, . . . , xm un sistema regular
de parámetros. Entonces no existe polinomio no nulo P (z1, . . . , zm) ∈
k[z1, . . . , zm] tal que P (x1, . . . , xm) = 0.
Prueba. Supongamos que existe un polinomio P (z1, . . . , zm) ∈ k[z1, . . . , zm]
no nulo tal que P (x1, . . . , xm) = 0. El polinomio P (z1, . . . , zm) se puede
escribir como
N
P = Pn(z1, . . . , zm),
n=n0
186