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para n ≥ 1 y el hecho que A0 = k se prueba que ⎧ ⎪⎨ HH0(A) si n=0 HCn(A) = HHn(A) ⊕ k si n es par ⎪⎩ 0 si n es impar Definición 1.65. Dada la k−álgebra A, definamos el complejo periódico CP (A) : . . . . . . . . . A ⊗ A 2 . . . A ⊗ A . . . B b+d A ⊗ A B A A ⊗ A b A y la homología cíclica periódica HPn(A) = Hn(CP (A)). B b A B . . . A (1.4) Definición 1.66. Definamos el complejo periódico negativo, al cual denotaremos como CN(A), de la siguiente forma CN(A) : . . . . . . . . . . . . A ⊗ A 2 B B A ⊗ A . . . A ⊗ A b A B b A ⊗ A y la homología cíclica negativa como HNn(A) = Hn(CN(A)). B 21 b A B b A
Observación. De las definiciones anteriores tenemos las secuencias exactas cortas 0 0 CN∗(A) CN∗+2(A) CP∗(A) CN∗(A) CC∗−2(A) (C(A), b) las cuales proporcionan una secuencia exacta larga que relacionas sus homologías. 1.3. Método de Cálculo Desarrollamos la teoría de la homología de Hochschild y cíclica para álgebras diferenciales graduadas. Este estudio nos lleva a conocer la homología cíclica y Hochschild para álgebras de la forma R/I, donde R es un anillo r.l.e.t.f. e I es un ideal de tipo interseción completa. Presentamos la definición de un álgebra diferencial graduada, y calculamos el primer módulo de diferenciales de Kähler graduado para álgebras de la forma ∧V, y R ⊗ ∧V donde V es un espacio vectorial graduado. Finalmente desarrollamos las herramientas necesarias para poder demostrar una versión graduada del Teorema de Hochschild Kostant Rosenberg, presentamos un bosquejo de la demostración de la descomposición de Hodge de la homología de Hochschild y cíclica. Esta decomposición se realiza de la siguiente manera : El complejo cíclico de R/I se reemplaza por el complejo cíclico de R ⊗ ∧(V ), que es el complejo cíclico de (T (R ⊗ ∧(V )), ∂, b, B). Este es quasiisomorfo a un complejo de la forma (ξ, δ, 0, β). El complejo cíclico y de Hochschild de este se descomponen en ciertos complejos ξ j j+k y ξj que son quasiisomorfos a Lj y Dj. De aquí se sigue que estos complejos calculan la homología cíclica y de hochschild del álgebra R/I. Observación. Recordemos que una k−álgebra diferencial graduada (A.D.G) se define como un álgebra graduada con un morfismo ∂ : An → An−1 que cumple la regla de Leibniz ∂(ab) = ∂(a)b + (−1) |a| a∂(b) y es un diferencial, es decir ∂ ◦ ∂ = 0. Entre los ejemplos que nos interesa se encuentra el siguiente 22 0, 0,
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donde df denota la imagen de df ∧
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Observación. Notemos que Lm+p = L
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en H m−1 (K(f1, . . . , fm)). Por
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para todo i (ver [Wei, Aplicación
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. . . δ |a|=j−m+1 x a1 1 · ·
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Notemos que puede ocurrir que ai
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2.2.3. Cálculo de la Homología de
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como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi
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Prueba. Sea P un ideal primo en el
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Cp+1 : . Ω m−2 2,p+2 df Ω
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Por lo tanto Gr(H m−1 (C1)) = H m
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Con esta notación el bicomplejo L
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Teorema 2.62. Existe una secuencia
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intercambiar el rol de f por el de
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Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1
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son cero, para todo p ≥ 1. En efe
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2.3. Homología de Hochschild para
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se trata de M(x1, . . . , xr) el de
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Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L
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Bp+1,−p δ1 dfr Bp,−p δ1 .
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y a1 1 · · · yar r ω → y a1 1
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Teorema 2.76. Sea (R, η) un anillo
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En el caso que el ideal I = 〈f, g
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para todo i = m − r + 1. Del crit
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En general los módulos de cohomolo
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Capítulo 3 Homología Cíclica. Lo
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el complejo Lj tiene cohomología c
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para todo t ≤ m − r − 2. Si t
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3.2. El Caso Quasihomogéneo En est
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tomamos la secuencia exacta larga
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Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0
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Observación. Del Capítulo anterio
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Prueba. El Lema 3.15 nos permite as
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Definamos el número de Milnor de l
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entonces en el anillo R/Jf,g tendr
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. . . . B d Ω2,1 B . d Ω1,1
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Como lím 1 H( ˆ Dj) = 0 entonces
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. . . Ωm−1 · x · xp+2 ⊕ Ω
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El complejo L ′ m+p se escribe co
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Lema 3.28. El morfismo β restricto
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Si z = ωxiyj y ∈ (E ′ m+p(0))t
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Gr(H m (Γ(f, g))) = ⊕p≥0H m (E
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F y una filtración del mismo. Del
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Prueba. Por definición (E ′ m+p(
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se denotará como β β . . . E∗
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Prueba. La demostración será por
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. . . 0 Lm+p−i−1(f) 0 Lm+p−
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Como β(x) = x, entonces el morfism
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que finalizan en I. Si el ideal I n
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Definición A.9. Sea (R, η) un ani
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A.2. Complejo Koszul Nuestro princi
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Prueba. [Eis, Teorema 17.1] . Corol
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De la hipótesis inductiva se sigue
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Observación. Notemos también que
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Prueba. Del Corolario anterior tene
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Prueba. Del Lema A.61 tenemos que Q
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[CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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