PhD Thesis

Observación. Notemos que todas las álgebras con las que trabajamos tienen
derivada universal finita.
Notación. Sea (R, η) un dominio local con derivada universal finita, pongamos
(Ω 1 R) ∗ :=
˜Ω 1 R|k
T ( ˜ Ω 1 R|k ),
donde T ( ˜ Ω 1 R|k ) es el módulo torsión y definamos d∗ : A → (Ω 1 R )∗ por medio
de d ∗ = π ◦ d.
Observación. Usaremos las definiciones de dimensión de Krull, altura, secuencia
regular, profundida, anillo Cohen Macaulay, según se presentan en
[Eis] o [Mats] y se detallan a continuación.
Definición 1.16. Sea R un anillo. La dimensión de Krull o simplemente
la dimensión de un anillo R, denotada como dim(R), es el supremo de las
longitudes de las cadenas de ideales primos en R. Es decir, dim(R) = n si
existe una cadena de ideales primos
P0 P1 · · · Pn
y ninguna cadena es de longitud es mayor. Una Cadena de ideales de longitud
n se define como una secuencia
de ideales dos a dos disjuntos.
I0 I1 · · · In
Definición 1.17. Sea P un ideal primo de R. Definimos la altura ht(P )
como el supremo de la longitud de las cadenas de primos
P0 ⊂ P1 ⊂ · · · ⊂ Pn = P.
Si el ideal I no es primo definimos la altura del ideal I como el mínimo de
las alturas de los primos P que contienen a I.
Observación. Cabe resaltar que algunos autores (ej. [Eis]) a la altura del
ideal I la llaman codimensión.
Si el anillo (R, η) es local entonces
dim(R) = ht(η).
Teorema 1.18. Sea x1, . . . , xc ∈ R y P ideal primo minimal entre los primos
que contienen a x1, . . . , xc. Entonces ht(P ) ≤ c.
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