PhD Thesis

La definición de la homología cíclica nos permite apreciar de manera
inmediata la siguiente proposición
Proposición 1.81. Dada (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada entonces
existe una secuencia exacta larga
. . .
HHn(A, ∂)
I
HCn(A, ∂)
S
HCn−2(A, ∂) B
. . .
Prueba. Es suficiente tomar homología en la secuencia exacta corta
0
T ot(T (A))∗
T ot(T ot(T (A)), B)∗
T ot(T ot(T (A)), B)∗−2
Observación. En el teorema que viene a continuación usamos la siguiente
propiedad : si f es un morfismo de bicomplejos el cual restricto a cada columna
o fila es un quasiisomorfismo entonces f induce un quasiisomorfismo de
bicomplejos.
Teorema 1.82. Sea f : (A, ∂) → (B, ∂) un quasiisomorfismo y k un cuerpo
entonces f induce un isomorfismo en la homología de Hochschild y por lo
tanto en la Cíclica.
Prueba. En los complejos de Hochschild T (A), T (B) las filas resultan ser
(A; ∂) ⊗ , (B; ∂) ⊗ , y f : (A, ∂) → (B, ∂) es un quasi isomorfismo. Entonces las
fórmulas de Künneth indican que f : T (A) → T (B) establece un quasiisomorfismo
a nivel de cada fila de los complejos T (A) y T (B). Esto significa
que tenemos un quasiisomorfismo entre los bicomplejos T (A) y T (B) - de
acuerdo a la observación anterior-. De aquí, del mismo modo, se prueba también
que f establece un quasiisomorfismo entre la homología cíclica de A y
B.
A continuación desarrollaremos los conceptos necesarios para presentar
una generalización del Teorema de H.K.R (Teorema 1.51) para el caso graduado.
Definición 1.83. Sea (A, ∂) una k−álgebra diferencial graduada. Definamos
el (A, ∂)−módulo graduado
Ω 1 (A,∂) :=
A ⊗ A[−1]
,
N
31
.
0