PhD Thesis

De aquí se tiene que ht(JF ) = m − r + 1.
Observación. El siguiente Lema será uno de los pilares de la demostración
del Corolario 2.23, que es un caso particular del Teorema 2.25 de clasificación
de singularidades aisladas.
Lema 2.20. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f, I = 〈f, g〉 una icis. Definamos
hα := f + α · g y Jα := Jhα para α ∈ k. Si ht(Jα) = m − 1, entonces existe
un primo pi que pertenece a la descomposición primaria del ideal Jf,g tal que
Jα ⊂ pi y ht(pi) = ht(Jα) = m − 1. Más aún, si existe un primo p tal que
〈Jα, Jβ〉 ⊂ p, con α = β entonces ht(p) = dim(R) = m.
Prueba. Notemos que para α = β tenemos
Sea
Jf,g = Jhα,hβ ⊂ Jα. (2.3)
i=t
Jf,g = (
i=1
qi) j=t
(
′
la descomposición primaria del ideal jacobiano, con √ qi = pi, q ′ j = p′ j, y
ht(pi) = m − 1, ht(p ′ i) = m. Notemos que aquí hemos usado el hecho que
ht(Jf,g) = m − 2 + 1 según el Corolario 2.19.
Sea p un ideal primo tal que p ⊃ Jα y ht(p) = ht(Jα) = m − 1. Como
Jα ⊃ Jf,g (ver ecuación (2.3)) entonces
i=1
j=1
j=1
q ′ j)
i=t
p ⊃ Jf,g = ( qi) j=t
(
′
q ′ j).
Por lo tanto existe algún i tal que qi ⊆ p, lo cual significa que pi ⊂ p. Como
ht(pi) = ht(p) entonces p = pi. Por lo tanto Jα ⊂ pi.
Finalmente sean α = β ∈ k y p primo tal que 〈Jα, Jβ〉 ⊂ p. Como
hα ∈ √ Jα y hβ ∈ Jβ (Corolario 1.38) entonces
p ⊃
hα, hβ, Jhβ,hα .
Como 〈hα, hβ〉 = 〈f, g〉 y Jhα,hβ = Jf,g, se tiene que
p ⊃ 〈f, g, Jf,g〉 .
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