PhD Thesis

Prueba. [Eis, Teorema 10.2].
Definición 1.19. Sea (R, η) un anillo local. La sucesión x1, . . . , xn se denomina
una secuencia de parámetros si sólo si
η k ⊂ 〈x1, . . . , xn〉 ⊂ η,
y dim(R) = n. Si además 〈x1, . . . , xn〉 = η la secuencia se llama secuencia
regular de parámetros -Ver [ Eis., Corolario 10.7, pág 242]-.
Definición 1.20. Sea (R, η) un anillo local. Una sucesión {x1, . . . , xn} se denomina
secuencia regular (o secuencia R-regular) si sólo sí la aplicación
xi : R/ 〈x1, . . . , xi−1〉 −→ R/ 〈x1, . . . , xi−1〉
definida por a ↦→ xi · a, es inyectiva para todo i = 1, . . . , n, y además
〈x1, . . . , xn〉 = R.
Definición 1.21. Sea (R, η) un anillo local, por definición la máxima longitud
de secuencias regulares del anillo (R, η) se denomina profundidad del
anillo R y se denota como depth(R).
Definición 1.22. Sea (R, η) un anillo, I un ideal. La máxima longitud de
secuencias regulares de R contenidas en I se define como profundidad(I).
Definición 1.23. Un anillo (R, η) local es llamado Cohen Macaulay si
sólo sí profundidad(R) = dim(R). Ver [Mats.,16.A., Pág 103].
Proposición 1.24. Sea (R, η) un anillo local Cohen Macaulay. Entonces
para todo ideal I tenemos
ht(I) + dim(R/I) = dim(R). (1.2)
Prueba. [Mats, Teorema 29, parte (i)].
Definición 1.25. Sea k un cuerpo de característica cero. Sea (R, η) un anillo
local de un punto cerrado suave y tal que R/η = k. Es decir
R = (k[x1, . . . , xn]/I)η 1 ⋍ k[x1, . . . , xn]η1/Iη1,
con η1 = (x1 − a1, . . . , xn − an). Este anillo es un ejemplo de un anillo regular
loca esencialmente de tipo finito. (r.l.e.t.f.) Nosotros lo llamaremos r.l.e.t.f.
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