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Prueba. Se sigue de la definición de ϕ.<br />
Observación. En el caso que Jf = η se tiene que R/Jf = k. Del lema<br />
anterior se sigue que<br />
µ = R/〈Jf,g, g〉 − R/η = T or0(H m−1 (L ′ m−1, R/〈g〉)) − k.<br />
Lema 3.23. Bajo las hipótesis del lema anterior la secuencia<br />
es exacta.<br />
0<br />
ϕ⊗1<br />
<br />
k <br />
η<br />
Jf,g + I · η<br />
ψ<br />
<br />
R<br />
Jf,g + I<br />
Prueba. Notemos que la secuencia anterior surge al efectuar el producto<br />
tensorial de la secuencia<br />
0<br />
<br />
k<br />
ϕ<br />
<br />
η<br />
Jf,g + g · η<br />
<br />
R<br />
Jf,g + 〈g〉<br />
con R/〈f〉. Será suficiente demostrar que la aplicación<br />
ϕ ⊗ 1 : k ⊗ R/〈f〉 −→<br />
es inyectiva. Sea I = 〈f, g〉, entonces<br />
η<br />
⊗ R/〈f〉 <br />
Jf,g + g · η<br />
<br />
k<br />
<br />
k<br />
η<br />
⊗ R/〈f〉<br />
Jf,g + g · η<br />
η<br />
Jf,g + I · η .<br />
Al tensorizar la secuencia anterior por R/〈f〉 tenemos<br />
0<br />
<br />
N<br />
ϕ⊗1<br />
<br />
k <br />
η<br />
Jf,g + I · η<br />
ψ<br />
<br />
R<br />
Jf,g + I<br />
donde N es el núcleo de ϕ⊗1. Notemos que en el módulo<br />
<br />
k<br />
<br />
0.<br />
<br />
0,<br />
<br />
0,<br />
<br />
η<br />
los elementos<br />
Jf,g+I·η<br />
f y g son no nulos a la vez (a lo más uno puede ser nulo). Pues si f = g = 0<br />
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