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Observación. De la filtración M(f,g) = I1 ⊃ I2 ⊃ . . . ⊃ Ip, tenemos una F secuencia espectral E∗ convergente cuyo término E1 es dado por el Lema anterior. Proposición 3.49. Existe una secuencia exacta H m−1 (F ) m−1 H (M(f, g)) m−1 M(f,g) H ( ) F Hm ( M(f,g) ) H F m (M(f, g)) Hm (F ). que relaciona los módulos de cohomología del complejo M(f, g). Prueba. De la secuencia exacta corta 0 F M(f, g) tomando cohomología tenemos la secuencia : H m−1 (F ) m−1 H (M(f, g)) M(f, g)/F 0 m−1 M(f,g) H ( ) F Hm ( M(f,g) ) H F m (M(f, g)) Hm (F ). Observación. De la definición del complejo L ′ m+p el complejo Ω ≥m (f, g) se escribe como: . . . . . . . . . . . . (Cm+1)m ⊕ (Cm+1)m−1x (Cm+1)m 165 (Cm)m−2 ⊕ (Cm)m−1x (Cm)m−1 ⊕ (Cm)mx (Cm)m.
Como β(x) = x, entonces el morfismo β(x) = 0 en el módulo Ω≥m (f, g) . Esto significa que Ω≥m (f, g) Ω ≥m f secuencia exacta corta de complejos 0 Ω ≥m f Ω ≥m f Ω ≥m f [−1]. Por lo tanto, tenemos la siguiente ≥m Ω (f, g) Proposición 3.50. Existe una secuencia exacta 0 m−2 ≥m H (Ω (f, g)) Hm−1 (Ω ≥m f ) m−1 ≥m H (Ω (f, g)) Hm (Ω ≥m f ) m ≥m H (Ω (f, g)) Ω ≥m f [−1] 0. Hm−1 (Ω ≥m f ) Hm (Ω ≥m f ) que relaciona los módulos de cohomología del complejo Ω ≥m (f, g). Prueba. De la secuencia exacta corta 0 tenemos la secuencia 0 Ω ≥m f H m−1 (Ω ≥m (f)) H m (Ω ≥m (f)) ≥m Ω (f, g) m−2 ≥m H (Ω (f, g)) m−1 ≥m H (Ω (f, g)) m ≥m H (Ω (f, g)) 166 0 Ω ≥m f [−1] 0. m−1 ≥m H (Ω (f)) m ≥m H (Ω (f)) 0
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Resumen Sea A = R/I un anillo regul
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Índice general Introducción III 1
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Introducción En la presente tesis
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para valores j mayores que la dimen
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E 1 2,0 = T or2(Mk, R I ) E1 1,0 =
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En relación a la homología cícli
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atra´s nos permiten establecer el
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Otra forma de abordar el estudio de
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1.1. Homología de Hochschild En es
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Definición 1.5. Sean A una k-álge
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Observación. Notemos que todas las
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Observación. En esta tesis trabaja
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〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano
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En efecto, como df = Σi=1,...,mfid
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σ |σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , a
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1.2. Homología Cíclica. Presentam
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Prueba. Es suficiente tomar la secu
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Definamos los módulos HHn(A) ˜ :=
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Observación. De las definiciones a
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Prueba. La demostración se basa en
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La homología cíclica del A.D.G (A
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entonces T ot(D)n = p+q=n i≥0 M
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Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y
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donde N = 〈1 ⊗ ab − (−1) |a
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concluimos la prueba del lema. Una
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Sean x, y elementos en ∧V. Sin pe
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con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el
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Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :
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indicando con ello que θ ′ 1 es
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Prueba. [CGG, Corolario 2.7]. Note
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y ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω
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donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj
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para convertir a los polinomios f1,
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términos de cohomología no nulos.
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tal que η j · M = 0. En el caso q
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Ejemplo 2.12. Sea I = 〈x 2 , y 3
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Supongamos que el Lema se cumple pa
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De aquí se tiene que ht(JF ) = m
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Prueba. Nuevamente como W tiene a l
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(ver Proposición A.38 del Apéndic
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es un polinomio no nulo (ver Lema A
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Lj : 0 IjΩ0 R Ij+1Ω0 R dDR I
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donde δ(y (a1) 1 . . . y (ar) r y
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donde df denota la imagen de df ∧
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Observación. Notemos que Lm+p = L
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en H m−1 (K(f1, . . . , fm)). Por
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para todo i (ver [Wei, Aplicación
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. . . δ |a|=j−m+1 x a1 1 · ·
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Notemos que puede ocurrir que ai
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2.2.3. Cálculo de la Homología de
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como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi
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Prueba. Sea P un ideal primo en el
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Cp+1 : . Ω m−2 2,p+2 df Ω
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Por lo tanto Gr(H m−1 (C1)) = H m
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Con esta notación el bicomplejo L
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Teorema 2.62. Existe una secuencia
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intercambiar el rol de f por el de
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Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1
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son cero, para todo p ≥ 1. En efe
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2.3. Homología de Hochschild para
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se trata de M(x1, . . . , xr) el de
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Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L
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Bp+1,−p δ1 dfr Bp,−p δ1 .
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y a1 1 · · · yar r ω → y a1 1
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Page 195 and 196: De la hipótesis inductiva se sigue
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Page 209 and 210: Prueba. Del Lema A.61 tenemos que Q
Page 211 and 212: [CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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