PhD Thesis

Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1 ∈ Ω m R R y Jg ⊂ Jf se tiene que existe η 1 2, η 2 2 en Ω m−1
tal que dg ∧ η 1 1 = −df ∧ η 1 2 y dg ∧ η 2 1 = −df ∧ η 2 2. Por lo tanto la ecuación
(2.21) se escribe de la siguiente forma
Si factorizamos df∧ tenemos
dg ∧ df ∧ w1 = −f · df ∧ η 1 2 − g · df ∧ η 2 2.
df ∧ (dg ∧ w1 − fη 1 2 − gη 2 2) = 0.
Como H i (K(fx1, . . . , fxm)) = 0 para todo i = m, existe a1 ∈ Ω m−1 tal
que
dg ∧ w1 = f · η 1 2 + g · η 2 2 + df ∧ a1.
Si k = 0 la prueba terminó pues [dg ∧ w1] = 0 ∈ H m−1 (E0). De lo contrario
definamos a0 := w1 y continuamos la demostración por un proceso inductivo.
Admitamos como hipótesis inductiva que
−dg ∧ as−2 = ηs + df ∧ as−1
(2.22)
con ηs ∈ IΩ m−1 . Es decir ηs = η 1 s · f + η 2 s · g. Por el método de la escalera en
el diagrama
as∈Ω m−2
df
dg∧as−1∈Ωm−1
dg
dg
. . .
df
as−1∈Ωm−2
dg
df
. ..
df
df
Ωm dg∧as−2∈Ωm−1
. ..
dg
dg
Ω m . . .
dg
100
dg
dg
dg
. . .
df
· · ·
df
a1∈Ωm−2
df
df
. .. dg∧w1∈Ωm−1
dg
df
Ωm