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I I 2 f 1 d h Ω 1 P ⊗P R Donde el triángulo inferior es conmutativo. Luego definamos la aplicación J. g : R −→ C como g(x) = f1(x) − h(d(x)). La buena definición se prueba usando el hecho que h ◦ d = f 1. Veamos que g es un morfismo de k−álgebras. En efecto es claro que g es k−lineal. Veamos que g(xy) = g(x)g(y). Por un lado tenemos g(xy) = f1(xy) − h(d(xy)) = f1(x)f1(y) − h(xd(y) + yd(x)) Ω 1 R pues d es una derivada. Si continuamos tenemos 0 f1(x)f1(y) − h(xd(y)) − h(yd(x)) = f1(x)f1(y) − h(x · d(y)) − h(y · d(x)) = f1(x)f1(y) − x · h(d(y)) − y · h(d(x)). Como h(dx), h(d(y)) ∈ J, si recordamos la estructura de R−módulo de J : tenemos que Por otro lado tenemos x · h(d(y)) = f1(x)h(d(y)), y · h(d(x)) = f1(y)h(d(y)), g(xy) = f1(x)f1(y) − f1(x)h(dy) − f1(y)h(dx). g(x)g(y) = (f1(x) − h(d(x)))(f1(y) − h(d(y)) = f1(x)f1(y) − f1(x)h(dy) − f1(y)h(dx) + h(dx)h(dy). 191
Como h(dx), h(dy) ∈ J y J 2 = 0 (por hipótesis) entonces h(dx)h(dy) = 0. Es decir g(xy) = g(x)g(y). Finalmente veamos que ε ◦ g = f. En efecto ε ◦ g(x) = ε(f1(x) − h(d(x))) = ε(f1(x)) − ε(h(d(x))) como h(d(x)) ∈ J (es decir ε(h(d(x)) = 0) y ε(f1(x)) = f ◦ π(x) entonces ε ◦ g(x) = f(x). A.4. El Anillo de Polinomios. En esta sección demostramos la siguiente propiedad Sea k un cuerpo de caracteristica cero y k[x1, . . . , xr] el anillo de polinomios. Para todo polinomio P (x1, . . . , xr) no nulo existen elementos λ1, . . . , λr−1 todos no nulos en el cuerpo k tal que el polinomio P (λ1xr, . . . , λr−1xr, xr) es no nulo. Lema A.59. Si k es un dominio entonces el anillo k[x1, . . . , xn] es un dominio. Prueba. Trivial. Lema A.60. Sea Q(x1, . . . , xr) polinomio no nulo con coeficientes en k un cuerpo infinito. Entonces existen constantes ci ∈ k −{0} para i = 1, . . . , r −1 tal que Q(c1, . . . , cr−1, xr) es un polinomio no nulo de k[xr]. Prueba. La prueba se desarrollará por inducción sobre r el número de variables para r ≥ 2. Si r = 2 el polinomio Q(x1, x2) se puede escribir como Q(x1, x2) = l Qi(x1)x i 2. i=0 Sea P (x1) = (Q0 · Q1 · · · Ql)(x1) y s el grado de P. Entonces P tiene a lo más s raíces. Como k es infinito, existe c1 ∈ k no nulo tal que P (c1) es no nulo. 192
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Resumen Sea A = R/I un anillo regul
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Índice general Introducción III 1
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Introducción En la presente tesis
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para valores j mayores que la dimen
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E 1 2,0 = T or2(Mk, R I ) E1 1,0 =
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En relación a la homología cícli
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atra´s nos permiten establecer el
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Otra forma de abordar el estudio de
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1.1. Homología de Hochschild En es
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Definición 1.5. Sean A una k-álge
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Observación. Notemos que todas las
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Observación. En esta tesis trabaja
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〈f1, . . . , ft〉 . El jacobiano
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En efecto, como df = Σi=1,...,mfid
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σ |σ|σ(a0a ′ 0, a1, . . . , a
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1.2. Homología Cíclica. Presentam
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Prueba. Es suficiente tomar la secu
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Definamos los módulos HHn(A) ˜ :=
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Observación. De las definiciones a
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Prueba. La demostración se basa en
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La homología cíclica del A.D.G (A
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entonces T ot(D)n = p+q=n i≥0 M
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Proposición 1.79. Sea (Mp,q, b) y
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donde N = 〈1 ⊗ ab − (−1) |a
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concluimos la prueba del lema. Una
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Sean x, y elementos en ∧V. Sin pe
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con δ|∧V ⊗∧V = m tal que el
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Prueba. Para el caso θ ◦ b = 0 :
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indicando con ello que θ ′ 1 es
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Prueba. [CGG, Corolario 2.7]. Note
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y ϕ j m : ξ j m −→ Im−j Ω
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donde 1 ≤ s ≤ p y |xj∗| = |xj
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para convertir a los polinomios f1,
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términos de cohomología no nulos.
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tal que η j · M = 0. En el caso q
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Ejemplo 2.12. Sea I = 〈x 2 , y 3
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Supongamos que el Lema se cumple pa
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De aquí se tiene que ht(JF ) = m
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Prueba. Nuevamente como W tiene a l
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(ver Proposición A.38 del Apéndic
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es un polinomio no nulo (ver Lema A
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Lj : 0 IjΩ0 R Ij+1Ω0 R dDR I
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donde δ(y (a1) 1 . . . y (ar) r y
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donde df denota la imagen de df ∧
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Observación. Notemos que Lm+p = L
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en H m−1 (K(f1, . . . , fm)). Por
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para todo i (ver [Wei, Aplicación
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. . . δ |a|=j−m+1 x a1 1 · ·
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Notemos que puede ocurrir que ai
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2.2.3. Cálculo de la Homología de
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como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi
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Prueba. Sea P un ideal primo en el
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Cp+1 : . Ω m−2 2,p+2 df Ω
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Por lo tanto Gr(H m−1 (C1)) = H m
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Con esta notación el bicomplejo L
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Teorema 2.62. Existe una secuencia
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intercambiar el rol de f por el de
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Como dg ∧ η 1 1, dg ∧ η 2 1
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son cero, para todo p ≥ 1. En efe
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2.3. Homología de Hochschild para
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se trata de M(x1, . . . , xr) el de
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Lema 2.72. Los complejo T ot(B) y L
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Bp+1,−p δ1 dfr Bp,−p δ1 .
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y a1 1 · · · yar r ω → y a1 1
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Teorema 2.76. Sea (R, η) un anillo
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En el caso que el ideal I = 〈f, g
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para todo i = m − r + 1. Del crit
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En general los módulos de cohomolo
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Capítulo 3 Homología Cíclica. Lo
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el complejo Lj tiene cohomología c
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para todo t ≤ m − r − 2. Si t
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3.2. El Caso Quasihomogéneo En est
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tomamos la secuencia exacta larga
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Si j < m−2 entonces H t (Dj) = 0
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Observación. Del Capítulo anterio
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Prueba. El Lema 3.15 nos permite as
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Definamos el número de Milnor de l
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Page 165 and 166: Lema 3.28. El morfismo β restricto
Page 167 and 168: Si z = ωxiyj y ∈ (E ′ m+p(0))t
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Page 171 and 172: F y una filtración del mismo. Del
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Page 205: esta bien definida. Más aún si x
Page 209 and 210: Prueba. Del Lema A.61 tenemos que Q
Page 211 and 212: [CGG] Cortiñas, G., Guccionne, J.A
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