PhD Thesis

Prueba. Basta tomar las homologías de los complejos totales en 1.3.
Observación. Para ver algunos ejemplos más analizaremos la definición de
la homología cíclica en el caso graduado.
De la definición vemos que C(A) y CC(A) se descomponen en C(A) =
i C(A)i y CC(A) =
i CC(A)i, donde
(A ⊗ A n )i =
ij=i
Ai0 ⊗ Ai1 ⊗ . . . ⊗ Ain.
Lo que si es menos obvio es el Teorema que enunciamos a continuación.
Teorema 1.63. Sea A un álgebra graduada unital sobre k ⊃ Q. Entonces la
secuencia SBI se descompone en
∀i ≥ 1.
0
HCn−1(A)i
HHn(A)i
I
HCn(A)i S
0,
Prueba. [Wei, Teorema 9.9.1].
Continuemos con nuestro ejemplo.
Ejemplo 1.64. Sea A = k[x]
〈xm+1 , entonces por definición tenemos
〉
Ω 1 A =
Ω 1 k[x]
d(x m+1 ) + x m+1 · Ω 1 k[x]
Como d(x m+1 ) = (m + 1)x m dx, usando el isomorfismo Ω 1 k[x]
dad anterior es equivalente a
Ω 1 A =
k [x]
〈x m 〉 ,
.
k [x] , la igual-
y la aplicación d : A → Ω1 A quedaria definida como xk ↦→ kxk−1 . Para todo xk en Ω1 A con k < m podemos tomar (1/(k+1))xk+1 ∈ A no nulo, y tenemos que
d((1/(k +1))xk+1 ) = xk . Entonces d(A) = Ω1 A . Por lo tanto de la Proposición
1.59 obtenemos
HC1(A) = Ω1 A
dA
19
= 0.