PhD Thesis

Prueba. Nuevamente como W tiene a lo más t elementos y k es infinito
entonces basta tomar hα y hβ con α y β diferentes en k \ W. La igualdad
〈hα, hβ〉 = 〈f, g〉 finaliza la prueba.
Observación. El Corolario 2.23 también se puede interpretar como un Teorema
de Clasificación de las singularidades aisladas de intersección
completa para dos polinomios. Nos indica que las icis son sólo aquellas que
se pueden formar con las hipersuperficies que tengan una singularidad aislada
de modo que sus respectivos generadores formen una secuencia regular y
una singularidad aislada.
Notemos también que la única hipótesis que se usa respecto al cuerpo
k es que este sea de característica cero.
Este resultado se extiende para icis que estén generadas por r elementos
en el Teorema 2.25.
A continuación veremos que podemos modificar el ideal de intersección
completa generado por r elementos para tener que los primeros r −1 generan
una icis.
Proposición 2.24. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f e I = 〈fi, i = 1, . . . , r〉 una
icis entonces podemos modificar los generadores f1, . . . , fr de I para tener
que los primeros r − 1 sean una icis.
Prueba. Sea JF = (∩t i=1qi) ∩ (∩t′ j=1q ′ j), la descomposición primaria del ideal
jacobiano con √ qi = pi, q ′ j = p′ j, donde los pi no contienen a ningún fk
para todo k = 1, . . . , r, y los p ′ j contienen al menos un fk. Sea pi un ideal
primo en la descomposición primaria de JF . Entonces existe Pi polinomio
no nulo en k [x1, · · · , xr] , tal que Pi(f1, · · · , fr) = 0 en R
(ver Corolario
1.41). Sea P = t
i=1 Pi entonces
en R
pi
P (f1, · · · , fr) = 0 (2.4)
para todo i = 1, . . . , t. Por otro lado sabemos que para P (x1, · · · , xr)
existen λi ∈ k para i = 1, . . . , r − 1 todos diferentes de cero, tal que
P (λ1xr, · · · , λr−1xr, xr) = 0 (ver Corolario A.62). A partir de las constantes
λ1, · · · , λr−1 definamos gi = fi − λifr, y JG como el jacobiano de los gi para
i = 1, . . . , r − 1.
Los ideales JG y JF guardan la siguiente relación de inclusión : JG ⊇
JF . En efecto es claro que Jg1,··· ,gr−1,fr = JF . Por lo tanto la definición del
determinante y del ideal jacobiano prueban la afirmación.
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pi