PhD Thesis

Definición 2.9. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Si el ideal I es una intersección
completa y tiene una singularidad aislada en η, diremos que I tiene una
singularidad aislada de intersección completa (icis, por sus siglas en inglés).
Observación. Cuando el ideal I es generado por una secuencia regular
f1, . . . , fr se cumple ht(I) = r. Entonces el ideal jacobiano JF está generado
por los menores M de orden r × r de la matriz jacobiana Jac(F ) = (fi,j),
donde F = (f1, . . . , fr). En adelante trataremos solamente con icis, y cuando
escribamos I = 〈f1, · · · , fr〉 suponemos que ht(I) = r y que por lo tanto de
la Proposición A.38 f1, · · · , fr es una secuencia regular.
Ejemplo 2.10. Sea (R, η) = (k [x, y] (x,y) , η) e I = 〈x 2 , y 3 〉 . Como el ideal
〈Jf,g, f, g〉 contiene una potencia de η entonces I tiene una singularidad aislada
en η. Más aún, como {x 2 , y 3 } es una secuencia regular, entonces I es
una icis.
Observación. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f. Si I = 〈f〉 tiene una singularidad
aislada en η se cumple que ht(Jf) = m por Corolario 2.5. Esta propiedad
permite expresar los módulos de cohomología de los complejos Lj de manera
simple (ver Corolario 2.32.) Esta es la razón de nuestro interés en esta sección
de calcular la altura del ideal JF cuando F tiene una singularidad aislada de
intersección completa. En el siguiente ejemplo mostramos que la propiedad
ht(JF ) = m, que se cumple para un polinomio (F = f) ya no se satisface
para el caso en que el ideal I este generado por más de un polinomio.
Ejemplo 2.11. Es claro que f = x 2 + y 2 ∈ (k [x, y] (x,y) , η) presenta una
singularidad aislada en η. Ahora sea f ′ (x, y, z) = f(x, y), y g = z entonces
JF = 〈x, y〉 en (k [x, y, z] (x,y,z) , η). El ideal I = 〈f ′ , g〉 tiene una singularidad
aislada en η pero ht(JF ) < m = 3. En general siempre se puede agregar una
variable z a una icis y se obtiene ht(JF ) < m. Lo mismo sucede si en el ideal
I uno de los generadores es parte de una secuencia regular de parámetros.
Observación. En adelante sólo trataremos con icis I = 〈f1, . . . , fr〉 donde
ninguno de sus generadores es regular.
En el siguiente ejemplo también tenemos que ht(JF ) < m, y no se puede
eliminar ninguno de los generadores pues no son regulares.
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