PhD Thesis

como T dx1 = df, T dx2 = dg y T dxi = dxi para i ≥ 3. De la representación
matricial de T en la base dx1, . . . , dxm tenemos que |T | = fx1gx2 − fx2gx1
es unidad en RP . Por lo tanto T −1 Adj(T )
= esta bien definido. Esto sig-
|T |
nifica que df1, . . . , dfr forman parte de una base de Ω1 RP . Entonces (L′ j)P =
Lj(df1, . . . , dfr, Ω1 RP )
El hecho que L ′ j sea exacto para j ≥ m − 1 se sigue del Corolario 2.45.
La conclusión que los Lj para j < m − 1 sean exactos excepto en el último
nivel se sigue también del Corolario 2.45.
Observación. Si repetimos la demostración anterior ahora para el módulo
Ω ∗
R obtenemos
Teorema 2.48. Los complejos Lj localizados en todo primo P Jf,g son
exactos en ((R/I)P , η P ) para todo j ≥ m − 1. Para j < m − 1 los complejos
(Lj)P son exactos salvo posiblemente en grado j.
Prueba. Es la misma que la demostración anterior con A = (R/I)P y N =
⊕ m i=1Adxi..
Proposición 2.49. El complejo L ′ m−1 es exacto salvo en nivel m − 1.
Prueba. Es claro que el complejo L ′ m−1 tiene longitud m − 1. Entonces
demostrar que H i (L ′ m−1) = 0 para todo i = m − 1 -usando el criterio de
exactitud- equivale a probar que :
(L ′ m−1)P tiene cohomología cero para todo i = m − 1 para todo primo P tal
que profundidad(P ) = ht(P ) < m − 1.
En efecto sea P primo tal que ht(P ) < m − 1. Del Corolario 2.19 tenemos
ht(JF ) = m − r + 1.
En el caso particular que r = 2 obtenemos ht(Jf,g) = m − 2 + 1, es decir
Jf,g P. Entonces en RP el complejo (L ′ m−1)P es exacto. (ver Teorema 2.47).
Esto finaliza la prueba.
Corolario 2.50. La cohomología del complejo Lm−1 cumple
H ∗ (Lm−1) = T orm−1−∗(R/I, Jf
donde I = 〈f, g〉 y el generador 〈f〉 tiene una singularidad aislada en η.
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Jf,g
),