PhD Thesis

donde Q1(x2, . . . , xr) =
j:x1∤Tj
Tj es un polinomio no nulo. De la ecuación (2.1)
y el hecho que Q(f1, . . . , fr) ∈ J podemos concluir que
Q1(f2, . . . , fr) ∈ 〈J, f1) ⊂ (P, f1〉 .
El segundo caso sucede si x1 divide Tj para todo j. Entonces
Q(x1, . . . , xr) = x k 1Q(x1, . . . , xr),
donde Q(x1, . . . , xr) = T j, y existe algún T j tal que x1 ∤ T j. Esta última
condición significa que
Q(x1, . . . , xr) = Q1(x2, . . . , xr) + x1 · α(x1, . . . , xr).
Es decir Q(f1, . . . , fr) = f k 1 · Q(f1, . . . , fr), y
Q(f1, . . . , fr) = Q1(f2, . . . , fr) + f1 · α(f1, . . . , fr). (2.2)
Sea P el ideal primo de la hipótesis. Como J ⊂ P entonces
f k 1 · Q(f1, . . . , fr) ∈ P.
Si f k 1 ∈ P entonces f1 ∈ P, por lo tanto f1 ∈ 〈P, f2, . . . , fr〉 .
Si f k 1 /∈ P entonces Q(f1, . . . , fr) ∈ P. De la ecuación (2.2) tenemos que
Q(f1, . . . , fr) = Q1(f2, . . . , fr) + f1 · α(f1, . . . , fr) ∈ P
donde Q1(x2, . . . , xr) es un polinomio no nulo. Por lo tanto
Q1(f2, . . . , fr) ∈ 〈P, f1〉 .
Lema 2.15. Sea (R, η) un anillo r.l.e.t.f., I = 〈f1, . . . , fr〉 un ideal propio,
r ≥ 1. Sea P ideal primo tal que ht(〈P, I〉) = m = dim(R). Si existe un
polinomio Q(x1, . . . , xr) ∈ k[x1, . . . , xr] no nulo tal que Q(f1, . . . , fr) ∈ P
entonces ht(P ) ≥ m − r + 1.
Prueba. La prueba será por indución sobre r ≥ 1.
Si r = 1 del Lema 2.13 tenemos que f1 ∈ √ P = P. Por lo tanto 〈P, f1〉 ⊂
P. Esto significa que ht(P ) = ht( √ P ) = ht(〈P, f1〉) = m. Es decir ht(P ) ≥
m.
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