PhD Thesis

1.1. Homología de Hochschild
En esta parte presentamos las definiciones del complejo y homología de
Hochschild. La homología de Hochschild y los diferenciales de Kähler tienen
una estrecha y conocida relación. Este hecho nos faculta a desarrollar una
teoría con amplia base con respecto a las propiedades de los diferenciales
de Kähler. Presentamos las secuencias exactas cotangente y conormal. También
ponemos de manifiesto las relaciones que guardan los diferenciales de
Kähler y las propiedades de regularidad del anillo. Un ejemplo de ello es la
caracterización de un anillo regular local en función del primer módulo de
los diferenciales de Kähler (ver Teorema 1.28). Un resultado importante de
la teoría de diferenciales que presentamos se encuentra en el Corolario 1.41.
De esta relación depende la mayoría de los resultados de la tesis.
Definición 1.1. Sean A una k−álgebra y M un A−bimódulo. Definamos
los módulos Cn(A, M) = M ⊗ A ⊗n y b : Cn(A, M) −→ Cn−1(A, M) como
b(m ⊗ a0 ⊗ . . . an) =
(−1) i (m ⊗ a0 ⊗ . . . ⊗ aiai+1 ⊗ . . . ⊗ an)
i=n−1
i=0
Se verifica que b ◦ b = 0 y por lo tanto C(A, M) :
b
b
+ (−1) n (anm ⊗ . . . ⊗ an−1).
0
C0(A, M)
· · ·
Cn(A, M)
Cn+1(A, M) · · ·
es un complejo. Su Homología HH∗(A, M) := H(C(A, M)) es la homología
de Hochschild de A con coeficientes en M.
Cuando M = A denotaremos C(A, A) = C(A) y HHn(A, A) = HHn(A).
Ejemplo 1.2. Sea A = M = k,
Con ello vemos
0
C(k) : 0
k
· · ·
k
k
· · ·
HHn(k) =
1
b
0
k si n=0.
0 si n = 0.
2
1
b
(1.1)